2025　九州大学　後期MathJax

【１】　$xyz$空間内において，点$\mathrm{A}({\displaystyle \frac{1}{2}},0,4)$とし，$3$点$(0,0,2)\text{，}$$(1,0,3)\text{，}$$(0,1,3)$を通る平面を$\alpha$とする．また，点$\mathrm{P}(s,t,u)$は平面$\alpha$上の点とし，$s+t\ne 2$のとき，$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{P}$を通る直線と平面$z=0$との交点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$u$を$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{Q}$の$x$座標，$y$座標のそれぞれを$s$と$t$を用いて表せ．

(3)　$s$と$t$が$s^2+t^2=1$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{Q}$が平面$z=0$に描く軌跡を求めよ．

【２】　連続関数$g(x)\text{，}$$h(x)$はともに$0\leqq 3x\leqq 1$の範囲で定義され，$0<3x<1$上で何回でも微分可能であると仮定する．さらに

$\sin (g(x))=\cos (h(x))=3x$

$g(0)=0\text{，}$$h(0)={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq g(x)\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$0\leqq h(x)\leqq \pi$

の条件を満たす．$0<3x<1$上の関数$f$を$f(x)=g(x)h(x)$とおき，$f$の第$n$次導関数を$f^{(n)}(x)={\displaystyle \frac{d^n}{{\mathit{dx}}^n}}f(x)$と表すとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$0<3x<1$上で$(9x^2-1)f^{(2)}(x)$$+9x{f}^{(1)}(x)$はある定数となる．その値を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$を$a_n=\underset{x\to +0}{\lim }{f}^{(n)}(x)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$と定める．$a_{n+2}=y_n{a}_n$を満たす$n$の多項式$y_n$を求めよ．

【３】　$1$番から$10$番までの番号が付けられた$10$個のボールを袋の中から無作為に$1$つ取り出して，番号を記録し戻すという操作を$k$回繰り返す．このとき，取り出したボールに$1$番から$6$番までの番号は$1$回も含まれず，$7$番の番号が$n$回含まれている確率を$P_n$とする．ただし，$k>n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$P_n$を$k$と$n$を用いて表せ．

(2)　$k=100$のとき，$P_n$が最大となる$n$を求めよ．

(3)　$P_n$が最大となる$n$が$2$つ存在するための$k$の条件を求めよ．

【４】　$xy$平面上の曲線$C$を，媒介変数$\theta$を用いて次のように定める．

$x=-\cos \theta -\theta \sin \theta \text{，}$$y=\sin \theta -\theta \cos \theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$

以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{d\theta }}}$および${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{d\theta }}}$を計算して$\theta$に対する$x\text{，}$$y$の増減と極値を調べ，曲線$C$の概形を図示せよ．ただし，曲線$C$と$y$軸に平行な直線が接するときの接点の座標も求めること．

(2)　$\theta =0$の位置から曲線$C$上を動く点$\mathrm{P}$を考える．点$\mathrm{P}$の軌跡の長さが${\displaystyle \frac{2}{9}}{\pi }^2$に達するときの$\theta$を${\theta }_1$と定める．${\theta }_1$を求めよ．

(3)　(2)で定めた${\theta }_1$に対応する点$\mathrm{P}$を点${\mathrm{P}}_1$とする．点${\mathrm{P}}_1$から$y$軸に垂線を引くとき，この垂線，曲線$C\text{，}$$x$軸，$y$軸で囲まれる面積を求めよ．

【５】　$\sqrt{3}(i-1)z\ne -(7+i)$となる複素数$z$に対し，複素数$f(z)$を

$f(z)={\displaystyle \frac{(5+3i)z+\sqrt{3}(i-1)}{\sqrt{3}(i-1)z+7+i}}$

と定める．以下の問いに答えよ．

(1)　$\sqrt{3}(i-1)z\ne -(7+i)$となるすべての複素数$z$に対し，$f(z)={\displaystyle \frac{(1+3\lambda )z+\sqrt{3}(\lambda -1)}{\sqrt{3}(\lambda -1)z+3+\lambda }}$となる複素数$\lambda$を${\lambda }_1$と定める．${\lambda }_1$を求めよ．

(2)　複素数${\lambda }_1$を(1)で定めたものとする．$\left|z\right|=\left|{\lambda }_1\right|$となるすべての複素数$z$に対し$|3+z^m|$$>|\sqrt{3}(z^m-1)|$が成立する最小の自然数$m$を求めよ．

(3)　$\left|z\right|=1$となる複素数$z$に対し，複素数の列$z_0,$$z_1,$$z_2,\cdots$を次のように定める．$z_0=z$とし，自然数$n$に対し$z_{n-1}$まで定まったとき$z_n=f(z_{n-1})$とする．このとき，$z_2$を$z$を用いて表し$z_n$を推測せよ．また，その結果を数学的帰納法で証明せよ．

(4)　$\left|z\right|=1$となる複素数$z$に対し，複素数$z_n$を(3)で定めたものとする．$r_n$を$z_n$の実部とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{r}_n$を求めよ．