2025　九州大学　前期MathJax

【１】　座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(1,1,-5)\text{，}$$\mathrm{B}(-1,-1,7)\text{，}$$\mathrm{C}(1,-1,3)$を通る平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{P}(a,b,t)$を通り$\alpha$に垂直な直線と$xy$平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　$t$がすべての実数値をとって変化するときの$\mathrm{OQ}$の最小値が$1$以下となるような$a\text{，}$$b$の条件を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$y=\tan x$とするとき，${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}$を$y$の整式で表せ．

(2)　次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{{\tan }^{4}x-{\tan }^{2}x-2}{{\tan }^{2}x-4}}\mathit{dx}$

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$n$を整数とするとき，$n^2$を$8$で割った余りは$0\text{，}$$1\text{，}$$4$のいずれかであることを示せ．

(2)　$2^m=n^2+3$をみたす$0$以上の整数の組$(m,n)$をすべて求めよ．

【４】　半径$1$の円周上に反時計回りに点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を順にとり，線分$\mathrm{AD}$は直径で，$\mathrm{AC}=\mathrm{CD}\text{，}$$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$が成り立つとする．

(1)　$\mathrm{\angle ACB}$を求めよ．

(2)　$\mathrm{BC}$を求めよ．

(3)　線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，三角形$\mathrm{BCE}$の面積を求めよ．

【５】　$1$個のさいころを$3$回続けて投げ，出る目を順に$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．整式

$f(x)=(x^2-ax+b)(x-c)$

について，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)=0$をみたす実数$x$の個数が$1$個である確率を求めよ．

(2)　$f(x)=0$をみたす自然数$x$の個数が$3$個である確率を求めよ．

【１】　$2$つの曲線

$y=x^3+x^2-x-1\text{，}$$y=x^2$

の両方に接するすべての直線の方程式を求めよ．

【２】　半径$1$の円周$C$上の$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$をみたすとする．点$\mathrm{P}$が円周$C$上を動くとき，${\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{BP}}^2$の最大値を求めよ．