2025　福岡教育大学　後期MathJax

$p\text{：}{\log }_2{(x-y)}^2\leqq 2$かつ$2x^2+5xy-3y^2\leqq 0$

次の問いに答えよ．

(問１)　条件$p$を満たす実数$x\text{，}$$y$を座標とする点$(x,y)$の存在する範囲を図示せよ．

(問２)　$a$を正の実数とし，実数$x\text{，}$$y$に関する次の条件$q$を考える．

$q\text{：}{(x-1)}^2+{(y-1)}^2\geqq a^2$

命題$\text{「}p$ならば$q\text{」}$が真となるような$a$のとり得る値の範囲を求めよ．

$\mathrm{EC}\perp \mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{ED}\perp \mathrm{OB}$

を満たすようにとる．また，$\mathrm{OA}=\sqrt{5}\text{，}$$\mathrm{OB}=1\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-1$とする．次の問いに答えよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積である．

(問１)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(問２)　$\cos \mathrm{\angle AEB}$の値を求めよ．

(問３)　$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{E}$は同一円周上にあることを示せ．

(問１)　方程式$x^3+4x^2+2=0$の実数解はただ一つであり，その実数解$\alpha$は$-5<\alpha <-4$を満たすことを示せ．

(問２)　関数$y={\displaystyle \frac{x^2+1}{x^3+4x^2+2}}$の極値を求めよ．

(問３)　$a$を正の定数とする．方程式

$x^2+1={\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{a}}}{\displaystyle \frac{t{x}^3+4t{x}^2+2t}{t^2+1}}\mathit{dt}$

の異なる実数解の個数を求めよ．