2025　福岡教育大学　前期MathJax

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

とおく．実数$s\text{，}$$t$が

$2s+t=1\text{，}$$s\geqq 0\text{，}$$t\geqq 0$

を満たしながら変化するとき，次の問いに答えよ．

(問１)　点$\mathrm{P}$の存在する範囲を求めよ．

(問２)　線分$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{C}$とする．線分$\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{P}$があるとき，$\mathrm{OP}:\mathrm{PC}$を求めよ．

(問３)　点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の座標がそれぞれ$(0,0)\text{，}$$(-2,1)\text{，}$$(1,3)$のとき，

$\mathrm{OP}\perp \mathrm{AB}$

となるように$s\text{，}$$t$の値を定めよ．

(問１)　複素数$z$が$z^5=1\text{，}$$z\ne 1$を満たしている．このとき，次の(ア)，(イ)に答えよ．

(ア)　$z+z^2+z^3+z^4$の値を求めよ．

(イ)　$w=z+{\displaystyle \frac{1}{z}}$とおいたとき，$w^2+w$の値を求めよ．

(問２)　複素数$\alpha$の実部と虚部がともに正であり，$\alpha$は${\alpha }^5=1$を満たしている．このとき，

$\alpha +{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}\text{，}$${\alpha }^2+{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2}}$

の値をそれぞれ求めよ．

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{1+\sin x}}\text{，}$$g(x)={\displaystyle \frac{\cos x}{1+\sin x}}$

と定める．次の各問いに答えよ．

(問１)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(問２)　不定積分${\displaystyle \int }g(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(問３)　曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$および直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

とおく．実数$s\text{，}$$t$が

$2s+t=1\text{，}$$s\geqq 0\text{，}$$t\geqq 0$

を満たしながら変化するとき，次の問いに答えよ．

(問１)　点$\mathrm{P}$の存在する範囲を求めよ．

(問２)　線分$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{C}$とする．線分$\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{P}$があるとき，$\mathrm{OP}:\mathrm{PC}$を求めよ．

(問３)　線分$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{D}\text{，}$線分$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{E}$をとり，平行四辺形$\mathrm{ODPE}$をつくる．この平行四辺形の面積が最大になるとき，直線$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\mathrm{AF}:\mathrm{FB}$を求めよ．

(問１)　複素数$z$が$z^5=1\text{，}$$z\ne 1$を満たしている．$w=z+{\displaystyle \frac{1}{z}}$とおいたとき，$w^2+w$の値を求めよ．

(問２)　複素数$\alpha$の実部と虚部がともに正であり，${\alpha }^5=1$が成り立つとする．このとき，次の(ア)，(イ)に答えよ．

(ア)　$\alpha +{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}\text{，}$${\alpha }^2+{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2}}$の値をそれぞれ求めよ．

(イ)　$t$を実数とする．$|4t-\alpha |<|2t-{\alpha }^2|$を満たす$t$の範囲を求めよ．

$f(x)={\displaystyle \frac{\sin x}{1+\sin x}}\text{，}$$g(x)={\displaystyle \frac{\cos x}{1+\sin x}}$

と定める．次の各問いに答えよ．

(問１)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(問２)　曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の座標を求めよ．

(問３)　曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$および$y$軸によって囲まれる部分の面積を求めよ．