2025　高知大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}$$b$を正の整数とし，集合$P\text{，}$$\mathrm{Q}$を次で定義する．

$P=(\{x,y)|x\text{，}y\text{は整数 }$$\text{かつ}{x}^2+y^2\leqq a^2\}$

$Q=(\{x,y)|x\text{，}y\text{は整数 }$$\text{かつ}{(x-b)}^2+y^2\leqq 4a^2\}$

また，有限集合$A$の要素の個数を$n(A)$で表す．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a=1$のとき，$n(P)$の値を求めよ．

(2)　$a=2$のとき，$n(Q)$の値を求めよ．

(3)　$b=a^2-10$を満たすとする．このとき，$n(P\cup Q)\ne n(P)+n(Q)$となる$a$の値をすべて求めよ．

(4)　$b=20$のとき，$n(P\cup Q)$が奇数となるような最小の$a$の値を求めよ．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を実数とする．$xy$平面上の$2$つの曲線$C_1$と$C_2$を次で定義する．

$C_1\text{：}y=-x^3+a{x}^2+2ax+b$

$C_2\text{：}y=x^3+p{x}^2+qx+r$

$C_1$と$C_2$は$x=-1$で共有点$\mathrm{P}$を持ち，点$\mathrm{P}$において共通の接線$l$を持つとする．さらに，$C_1\text{，}$$C_2\text{，}$$l$は，$x={\displaystyle \frac{3}{2}}$において，$1$点で交わるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$p\text{，}$$q$の値を求めよ．また，$r$を$b$を用いて表せ．

(3)　$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　空間の$4$点を$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{OA}=\mathrm{OC}=\sqrt{13}\text{，}$$\mathrm{OB}=5$とし，内積について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=13\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=7$が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

(4)　$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る球面の半径を求めよ．

【４】　$i$を虚数単位とする．複素数$\alpha \text{，}$$\beta$および実数$k$が次の関係式を満たすとする．

$0<\arg \alpha <\pi$

$\alpha +{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}=\sqrt{3}$

$\beta =k+{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}i$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha$の値を求めよ．

(2)　${\alpha }^{20}+{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^{20}}}$の値を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{\beta }{{\alpha }^4}}$の値が実数となるとき，$\beta$の値を求めよ．

(4)　$n$を正の整数とする．複素数平面において，原点を$\mathrm{O}\text{，}$複素数${\alpha }^n$を表す点を$\mathrm{A}\text{，}$複素数${\beta }^n$を表す点を$\mathrm{B}$とする．(3)の仮定のもとで，点$\mathrm{A}$が線分$\mathrm{OB}$上に存在するような最小の$n$の値を求めよ．またそのとき，線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　等式

$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{10}}=\sqrt{1-{\cos }^2{\displaystyle \frac{2\pi }{5}}}$

が成り立つことを示せ．

(2)　$n$を$2$以上の自然数とする．一般角$\theta$に対して，等式

$\cos (n+1)\theta$$=2\cos n\theta \cos \theta$$-\cos (n-1)\theta$

が成り立つことを示せ．

(3)　一般角$\theta$に対して，等式

$\cos 5\theta$$=16{\cos }^5\theta$$-20{\cos }^3\theta$$+5\cos \theta$

が成り立つことを示せ．

(4)　$\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$の値を求めよ．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$において，外心を$\mathrm{O}\text{，}$外接円の半径を$1$とする．また，$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$に下ろした垂線と各辺の交点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$とし，

$3\overrightarrow{\mathrm{OD}}+4\overrightarrow{\mathrm{OE}}+5\overrightarrow{\mathrm{OF}}=\overrightarrow{0}$

を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{OBC}$の面積を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$2$個のさいころを同時に投げたとき，少なくとも$1$つは奇数の目が出る確率を求めよ．

(2)　$2$個のさいころを同時に投げたとき，出た目の和が$4$以下となる確率を求めよ．

(3)　$3$個のさいころを同時に投げたとき，出た目の積が$8$の倍数となる確率を求めよ．