2025　愛媛大学　後期MathJax

【１】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(1)　当たりくじをちょうど$2$本含む計$10$本のくじの中から，引いたくじはもとに戻さないで，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$人がこの順に$1$本ずつくじを引く．このとき，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$人が当たりくじを引く確率は$\text{(ア)}$であり，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$のうち少なくとも$1$人が当たりくじを引く確率は$\text{(イ)}$である．

【１】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^1}x{e}^{-x}\mathit{dx}=\text{(ウ)}$である．

【１】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}}\sin x\cos 2x\mathit{dx}=\text{(エ)}$である．

【１】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(4)　$a\text{，}$$b$を実数とする．$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\cos x+a}{x\sin x}}=b$が成り立つとき，$a=\text{(オ)}$であり，$b=\text{(カ)}$である．

【１】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(5)　$i$を虚数単位とする．複素数$(1+i){(\sqrt{3}+i)}^6$の絶対値を$r\text{，}$偏角を$\theta$（ただし，$0\leqq \theta <2\pi \text{）}$とするとき，$r=\text{(キ)}$であり，$\theta =\text{(ク)}$である．

【１】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(6)　$x$を実数とし，ベクトル$\overrightarrow{a}=(x,x+1,x+2)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(x+1,x+2,x)$のなす角を$\theta$とする．

(ⅰ)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$かつ$x<0$のとき，$x=\text{(ケ)}$である．

(ⅱ)　$x$が実数全体を動くときの$\cos \theta$の最小値は$\text{(コ)}$である．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を整数とするとき，次が成り立つことを証明せよ．

(ⅰ)　$a+b=c$とする．このとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の少なくとも$1$つは偶数である．

(ⅱ)　$a^2+b^2=c^2$とする．このとき，$a\text{，}$$b$の少なくとも$1$つは偶数である．

【２】　以下の問いに答えよ．

(2)(ⅰ)　$t>0$のとき，$\log t\leqq t-1$が成り立つことを証明せよ．

(ⅱ)　$f(x)$は$0\leqq x\leqq 1$で定義された連続関数で，常に$f(x)>0$であり${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx}=1$を満たすとする．このとき，(ⅰ)の結果を用いて

${\displaystyle {\int }_0^1}\log f(x)\mathit{dx}\leqq 0$

が成り立つことを証明せよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(3)　連立不等式

$\{\begin{array}{l}{(\sqrt{2})}^{x^2}\leqq 4^{x+y}\\ y\leqq {\displaystyle \frac{x}{2}}\end{array}$

の表す領域を座標平面上に図示せよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f_n(x)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を

$f_1(x)=(x^2-2x+5)e^x$

$f_{n+1}(x)=f_n^{\prime }(x)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$

により定める．

(ⅰ)　$f_2(x)$を求めよ．

(ⅱ)　関数$f_n(x)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$は実数$a_n\text{，}$$b_n$を用いて

$f_n(x)=(x^2+a_{n}x+b_n)e^x$

と表せることを，$n$に関する数学的帰納法を用いて証明せよ．

(ⅲ)　(ⅱ)における$a_n\text{，}$$b_n$を$n$を用いて表せ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(2)　$n$を自然数とし，$a_n=1-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$+{\displaystyle \frac{1}{5}}$$-{\displaystyle \frac{1}{7}}$$+\cdots$$+{\displaystyle \frac{{(-1)}^{n-1}}{2n-1}}$とおく．

(ⅰ)　${\displaystyle {\int }_0^1}\{1-x^2+x^4$$-x^6$$+\cdots$$+{(-x^2)}^{n-1}\}\mathit{dx}=a_n$であることを示せ．

(ⅱ)　$x$を実数とするとき，次の和を求めよ．

$S=1-x^2+x^4$$-x^6$$+\cdots$$+{(-x^2)}^{n-1}$

(ⅲ)　$x=\tan \theta$とおくことにより，定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}\mathit{dx}$を求めよ．

(ⅳ)　$x$を実数とするとき，${\displaystyle \frac{x^{2n}}{1+x^2}}\leqq x^{2n}$が成り立つことを示せ．

(ⅴ)　次が成り立つことを示せ．

$-{\displaystyle \frac{1}{2n+1}}$$\leqq {(-1)}^n{\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x^{2n}}{1+x^2}}\mathit{dx}$$\leqq {\displaystyle \frac{1}{2n+1}}$

(ⅵ)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．