2025　愛媛大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$\{a_n\}$を等差数列，$\{b_n\}$を等比数列とし，数列$\{c_n\}\text{，}$$\{d_n\}$を

$c_n=a_n+b_n\text{，}$$d_n=a_n-b_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．$c_1=2\text{，}$$c_2=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$d_1=0\text{，}$$d_2={\displaystyle \frac{7}{2}}$のとき，$\{c_n\}\text{，}$$\{d_n\}$の一般項を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　半径$2$の円に四角形$\mathrm{ABCD}$が内接している．$\mathrm{AB}=1\text{，}$$\mathrm{AC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DA}$のとき，次を求めよ．

(ⅰ)　$\sin \mathrm{\angle ACB}$の値

(ⅱ)　辺$\mathrm{BC}$の長さ

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　赤球$4$個，青球$3$個，緑球$2$個，白球$1$個が入っている袋から，同時に$2$個の球を取り出すとき，次の確率を求めよ．

(ⅰ)　取り出した$2$個の球が同じ色である確率

(ⅱ)　取り出した$2$個の球のうち，少なくとも$1$個が赤球または青球である確率

【１】　以下の問いに答えよ．

(4)　${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq 2$のとき，関数$y=({\log }_{2}4x)({\log }_2{\displaystyle \frac{x}{8}})$の最小値と最大値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(5)(ⅰ)　整式$2x^2+3x-3$を$x-1$で割った商と余りを求めよ．

(ⅱ)　整式${(2x^2+3x-3)}^2$を${(x-1)}^2$で割った余りを$R(x)$としたとき，$R(0)$の値を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　整数$a$が$3$の倍数でないとき，$a^3+a$は$3$の倍数でないことを証明せよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(2)　$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$x\text{，}$$y$を実数とする．

(ⅰ)　加法定理

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

を用いて

$\sin x+\sin y=2\sin {\displaystyle \frac{x+y}{2}}\cos {\displaystyle \frac{x-y}{2}}$

を証明せよ．

(ⅱ)　$0\leqq x<y\leqq \pi$のとき，$\sin {\displaystyle \frac{x+y}{2}}$と${\displaystyle \frac{\sin x+\sin y}{2}}$の大小を調べよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(3)　$a\text{，}$$b$を実数とし

$P(x)=x^3$$+2(a-2)x^2$$+(3-b^2)x$$+b^2-2a$

とする．

(ⅰ)　$x=1$は方程式$P(x)=0$の解であることを示せ．

(ⅱ)　方程式$P(x)=0$が異なる$2$つの虚数解をもつための$a\text{，}$$b$の満たすべき必要十分条件を求め，その条件の表す領域を$ab$平面上に図示せよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)=x^2-2x+3$について，放物線$y=f(x)$上の点

$\mathrm{A}(-1,f(-1))\text{，}$$\mathrm{B}(2,f(2))$

における接線をそれぞれ$l_1\text{，}$$l_2$とし，$l_1$と$l_2$の交点を$\mathrm{P}(p,q)$とする．

(ⅰ)　直線$l_1$および$l_2$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　$p$と$q$の値を求めよ．

(ⅲ)　放物線$y=f(x)$と直線$l_1$および直線$x=p$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(ⅳ)　放物線$y=f(x)$と直線$x=p$の交点を$\mathrm{C}$とする．放物線$y=f(x)$と線分$\mathrm{AC}$で囲まれた図形の面積$T$を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(2)　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間上に点$\mathrm{A}(1,2,3)\text{，}$$\mathrm{B}(3,4,5)$をとり，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．また，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とする．

(ⅰ)　$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$の大きさ$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|$および$\cos \theta$の値を求めよ．

(ⅱ)　$\mathrm{▵OAB}$の面積$S$を求めよ．

(ⅲ)　ベクトル$\overrightarrow{e}=(1,s,t)$が$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に垂直であるとき，実数$s$と$t$の値を求めよ．

(ⅳ)　$\mathrm{O}$を通り，平面$\mathrm{OAB}$と垂直な直線を$l$とする．四面体$\mathrm{OABC}$の体積が$1$となるような，$l$上の点$\mathrm{C}$をすべて求めよ．

【４】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(1)　赤球$4$個，青球$3$個，緑球$2$個，白球$1$個が入っている袋から，同時に$2$個の球を取り出す．取り出した$2$個の球が同じ色である確率は$\text{(ア)}$であり，取り出した$2$個の球のうち，少なくとも$1$個が赤球または青球である確率は$\text{(イ)}$である．

【４】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(2)　$f(x)=\sqrt{x^2+x+2}$のとき，$f^{\prime }(0)=\text{(ウ)}$であり，$f^{″}(0)=\text{(エ)}$である．

【４】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_1^e}{\displaystyle \frac{\log x}{x}}\mathit{dx}=\text{(オ)}$である．

【４】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(4)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{6}}}x\sin 2x\mathit{dx}=\text{(カ)}$である．

【４】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(5)　$i$を虚数単位，$t$を実数とし，$z=2+3i$とする．複素数平面上の$3$点

$\mathrm{A}(z)\text{，}$$B(iz)\text{，}$$\mathrm{C}(-1+ti)$

を考える．直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{BC}$が直交するとき，$t=\text{(キ)}$である．また，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が同一直線上にあるとき，$t=\text{(ク)}$である．

【４】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(6)　整式$x^3-2x^2+3x-3$を$x-1$で割った余りは$\text{(ケ)}$である．また，整式${(x^3-2x^2+3x-3)}^{\mathrm{５}}$を${(x-1)}^2$で割った余りを$R(x)$としたとき，$R(0)=\text{(コ)}$である．

【５】　以下の問いに答えよ．

(3)　$a\text{，}$$b$を実数とし

$P(x)=x^3$$+(a-4)x^2$$+(3-b^2)x$$+b^2-a$

とする．

(ⅰ)　$x=1$は方程式$P(x)=0$の解であることを示せ．

(ⅱ)　方程式$P(x)=0$が異なる$2$つの虚数解をもつための$a\text{，}$$b$の満たすべき必要十分条件を求め，その条件の表す領域を$ab$平面上に図示せよ．

【６】　以下の問いに答えよ．

(1)　$a$を正の実数とする．関数$f_n(x)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を

$f_1(x)={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}\text{，}$$f_{n+1}(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_{x-a}^{x+a}}{f}_n(t)\mathit{dt}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．また，$A={\displaystyle \frac{e^a-e^{-a}}{2}}$とおく．

(ⅰ)　${\displaystyle \frac{f_2(x)}{f_1(x)}}=A$を証明せよ．

(ⅱ)　$f_n(x)=A^{n-1}{f}_1(x)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を証明せよ．

(ⅲ)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{f}_n(0)$が収束するような$a$の値の範囲を求めよ．

(ⅳ)　$a$が(ⅲ)で求めた範囲にあるとき，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{f}_n(0)$を$a$を用いて表せ．

【６】　以下の問いに答えよ．

(2)　$\overrightarrow{a}=(1,2,1)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(1,1,1)$とする．また，$s$を実数とし，ベクトル$\overrightarrow{c}$は条件

$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{c}=s\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=0\end{array}$

を満たすとする．

(ⅰ)　$s$の値および$\overrightarrow{c}$を求めよ．

(ⅱ)　$t\text{，}$$u$を実数とし，$\overrightarrow{d}=t\overrightarrow{a}+u\overrightarrow{c}$とする．また，$x$を実数とし，ベクトル$\overrightarrow{d}$は条件

$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{d}=1\\ \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{d}=x\end{array}$

を満たすとする．

(a)　$t$の値を求めよ．

(b)　$u$を$x$を用いて表せ．

(c)　$f(x)=\left|\overrightarrow{d}\right|$とする．$\underset{x\to \infty }{\lim }\{f(x)-(px+q)\}=0$が成り立つとき，実数$p$と$q$の値を求めよ．

志望別問題選択一覧

教育(学校教育教員養成課程),工(工学科文理型入試),農学部　【１】，【２】，【３】

理,工（理系入試,デジタル情報人材育成特別プログラム),医(医学科)学部　【４】，【５】，【６】