2025　香川大学　前期MathJax

【１】　次の問に答えよ．

(1)　$\alpha ={\log }_{10}2\text{，}$$\beta ={\log }_{10}3$とおくとき，${\log }_{10}4\text{，}$${\log }_{10}5\text{，}$${\log }_{10}6$をそれぞれ$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

(2)　$48<7^2<50$であることを利用して，$0.84<{\log }_{10}7<0.85$が成り立つことを示せ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

(3)　$1.03<{\log }_{10}11<1.05$が成り立つことを示せ．ただし，${\log }_{10}2\text{，}$${\log }_{10}3$は(2)と同じ値とする．

【２】　放物線$y=a{x}^2+bx+c$が$3$点$\mathrm{A}(1,4)\text{，}$$\mathrm{B}(2,4)\text{，}$$\mathrm{C}(3,0)$を通るとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を求めよ．

(2)　原点を$\mathrm{O}$とし，この放物線上に$x$座標が$t$（ただし$0\leqq t\leqq 3\text{）}$である点$\mathrm{P}$をとる．$\mathrm{▵OBP}$の面積$S$を$t$を用いて表せ．

(3)　$0\leqq t\leqq 1+\sqrt{2}$の範囲において，$S$を最大とする$t$の値を求めよ．

【３】　$0<x<1$のとき，次の問に答えよ．

(1)　$1+x+x^2<2+x^3$が成り立つことを示せ．

(2)　$2$以上の自然数$n$に対して，

$1+x+x^2$$+\cdots$$+x^n$$<n+x^{n+1}$

が成り立つことを数学的帰納法により示せ．

【４】　曲線$C\text{：}y=e^{2x}$について，次の問に答えよ．

(1)　原点$\mathrm{O}$から曲線$C$に引いた接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$C\text{，}$$l$と$y$軸で囲まれてできる図形$D$の面積を求めよ．

(3)　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【４】　$k$を実数の定数とする．関数$f(x)=x^3+3x^2-9x+k$について，次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　方程式$f(x)=0$の実数解の個数を求めよ．

(3)　$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつとして，それらのうち最も小さいものを$\alpha$とする．$-5<\alpha <-3$となることを示せ．

【２】　$p$を実数の定数とする．曲線$C_1\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-px+{\displaystyle \frac{1}{3}}$について次の問に答えよ．

(1)　$C_1$と曲線$C_2\text{：}y=p{x}^2+({\displaystyle \frac{1}{3}}-p)x-p+{\displaystyle \frac{1}{3}}$の共有点が$2$つであるとき，$p$の値を求めよ．

(2)　$C_1$と曲線$C_3\text{：}y=x^2+px+{\displaystyle \frac{2}{3}}{p}^2-p$の共有点が$2$つであるとき，$p$の値を求めよ．

【４】　次の問に答えよ．ただし，必要なら$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$を用いてよい．

(1)　$0$以上の実数$a\text{，}$$b$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \frac{b+1}{1+a(b+1)}}$$\leqq {\displaystyle \frac{b}{1+ab}}$$+{\displaystyle \frac{1}{1+a}}$

(2)　正の実数$t$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x+1}{1+tx(x+1)}}\mathit{dx}$$\leqq {\displaystyle \frac{3}{2t}}\log (1+t)$

(3)　極限$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{tx{(x+1)}^2}{1+tx(x+1)}}\mathit{dx}$を求めよ．