2025　鳴門教育大学　前期MathJax

2025-10762-0101

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算数科，数学科コース

易□　並□　難□

【１】　 $a ，$ $p$ を $0$ でない実数の定数とします．関数 $f (x) = a x - a p$ のグラフを $F ，$ 関数 $g (x) = p x^{2} - p^{2} x + a x$ のグラフを $G$ とします．次の問いに答えなさい．

(1)　 $a = 1 ，$ $p = 5$ のとき， $F$ と $G$ の共有点の $x$ 座標を求めなさい．

(2)　 $a < 0$ のとき， $F$ と $G$ の共有点の個数を求めなさい．

(3)　 $a > 0$ のとき， $F$ と $G$ の共有点の個数を求めなさい．

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【２】　表と裏の出方が同様に確からしい硬貨 $C$ があります．次の問いに答えなさい．

(1)　硬貨 $C$ を $6$ 回投げるとき， $3$ 回以上連続して表が出る確率を求めなさい．

(2)　硬貨 $C$ を $21$ 回投げます． $21$ 回中ちょうど $5$ 回表が出たという条件のもとで，最初の $5$ 回中ちょうど $1$ 回表が出る条件付き確率を $\frac{p}{q}$ $（ p$ と $q$ は互いに素な正の整数）の形で求めなさい．

(3)　(2)の $p ，$ $q$ について， $| \frac{q}{p} - \sqrt{5} | < \frac{1}{10^{n}}$ となる最大の自然数 $n$ を求めなさい．ただし， $2.23606 < \sqrt{5} < 2.23607$ であることは証明なしに用いても構いません．

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【３】　次の問いに答えなさい．ただし，求める値は二重根号を含まない（根号の中に根号を含まない）形で表すこと．

(1)　以下の等式をみたす正の実数 $a ，$ $b ，$ $c$ の値を求めなさい．

$b = a^{2} ，$ $c = 2 a ，$ $a b = a + c$

(2)　(1)で求めた $a ，$ $b ，$ $c$ について， $AB = c ，$ $BC = a ，$ $CA = b$ をみたす三角形 $ABC$ を考えます．

(ⅰ)　角 $BAC$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $G$ とします．線分 $BG ，$ $GC ，$ $AG$ の長さを求めなさい．

(ⅱ)　 $\sin ∠GAC$ の値を求めなさい．

(ⅲ)　半直線 $AG$ 上に $AG = GH$ をみたす点 $A$ と異なる点 $H$ をとります．三角形 $HGC$ の面積を求めなさい．

(ⅳ)　点 $H$ から直線 $BC$ へ下ろした垂線と直線 $BC$ の交点を $I$ とします．線分 $HI$ の長さを求めなさい．

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【４】　次の問いに答えなさい．

(1)　 $2$ つの整数が互いに素であることの定義を述べなさい．

(2)　 $n$ を正の整数， $p$ を $3$ と異なる素数とします．方程式 $x^{2} + x$ $+ 1$ $= p^{n} y$ が整数解 $x = a ，$ $y = b$ をもつとき，次の(ⅰ)，(ⅱ)がそれぞれ成り立つことを証明しなさい．

(ⅰ)　 $p$ と $2 a + 1$ は互いに素である．

(ⅱ)　方程式 $x^{2} + x + 1 = p^{n + 1} y$ の整数解 $x ，$ $y$ であって， $x$ を $p^{n}$ で割った余りと $a$ を $p^{n}$ で割った余りが等しくなるものが存在する．

(3)　方程式 $x^{2} + x + 1 = 2401 y$ は整数解 $x ，$ $y$ をもつことを証明しなさい．

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