2025　徳島大学　後期理工学部MathJax

【１】　頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が反時計回りに位置する三角形$\mathrm{ABC}$を考える．はじめに点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$にある．さいころを$1$回投げるごとに，$1$の目が出れば点$\mathrm{P}$は反時計回りに$1$つ隣の頂点に移動し，$6$の目が出れば点$\mathrm{P}$は時計回りに$1$つ隣の頂点に移動し，$1$と$6$以外の目が出れば点$\mathrm{P}$は移動しない．自然数$n$に対し，さいころを$n$回投げたときに点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$にある確率をそれぞれ$a_n\text{，}$$b_n\text{，}$$c_n$とする．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．

(3)　$a_n\text{，}$$b_n\text{，}$$c_n$を$n$を用いて表せ．

【２】　$i$を虚数単位とする．次の問いに答えよ．

(1)　$z=1+2i$に対し，${\displaystyle \frac{z-1}{z+1}}=r(\cos \theta +i\sin \theta )$$\text{（}r>0\text{，}$$-\pi <\theta <\pi \text{）}$を満たす実数$r$および$\theta$を求めよ．

(2)　$\left|z\right|=1$かつ$\left|{\displaystyle \frac{z-1}{z+1}}\right|={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$を満たす複素数$z$をすべて求めよ．

(3)　実数$x\text{，}$正の実数$y$に対し，複素数$z=x+yi$を考える．$\arg {\displaystyle \frac{z-1}{z+1}}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$を満たす点$z$全体の集合を複素数平面上に図示せよ．

【３】　$f(x)=e^{-x}\sin x\text{，}$$g(x)=e^{-x}\cos x$とする．座標平面上の$2$つの曲線$C_1\text{：}y=|f(x)|$および$C_2\text{：}y=|g(x)|$を考える．$|f(x)|=|g(x)|$を満たす正の実数$x$の値を，小さい順に$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$\cdots$とする．

(1)　$f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$および$f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対し，$a_n$を求めよ．

(3)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対し，$a_n\leqq x\leqq a_{n+1}$の範囲において$2$つの曲線$C_1\text{，}$$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．$S_1$および$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{S}_k$の値を求めよ．