2025　徳島大学　前期MathJax

【１】　$t$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,-t,0)\text{，}$$\mathrm{B}(t+1,-t-1,2)\text{，}$$\mathrm{C}(t-1,-t-2,-1)$をとるとき，次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$t$を用いて表せ．

(2)　$t$が実数全体を動くとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積の最小値を求めよ．

(3)　$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が同一平面上にあるときの$t$をすべて求めよ．

【２】　$t$を実数とする．$x$の$2$次方程式$x^2-(2t^2-3)x$$+t^4$$-7t^2$$+6t=0$$\cdots$(＊)について，次の問いに答えよ．

(1)　$x=0$が(＊)の解となる$t$の値をすべて求めよ．

(2)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を実数とする．すべての実数$t$について$x=t^2+at+b$および$x=t^2+ct+d$が(＊)の解となる$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$の値を求めよ．ただし，$b>d$とする．

(3)　(2)の$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$に対し，$\alpha (t)=t^2+at+b\text{，}$$\beta (t)=t^2+ct+d$とする．$|\alpha (t)|=|\beta (t)|$となる$t$をすべて求めよ．また，それらの$t$に対する$|\alpha (t)|$の最小値を求めよ．

【３】　数列

${\displaystyle \frac{1}{2}},$${\displaystyle \frac{1}{4}},$${\displaystyle \frac{2}{4}},$${\displaystyle \frac{1}{8}},$${\displaystyle \frac{2}{8}},$${\displaystyle \frac{4}{8}},$${\displaystyle \frac{1}{16}},$${\displaystyle \frac{2}{16}},$${\displaystyle \frac{4}{16}},$${\displaystyle \frac{8}{16}},$${\displaystyle \frac{1}{32}},$${\displaystyle \frac{2}{32}},$${\displaystyle \frac{4}{32}},$${\displaystyle \frac{8}{32}},$${\displaystyle \frac{16}{32}},$${\displaystyle \frac{1}{64}},\cdots$

の規則性を推測し，次の問いに答えよ．

(1)　数列の各項を既約分数で表す．このとき，最初に現れる${\displaystyle \frac{1}{128}}$は第何項か．また，$2$回目に現れる${\displaystyle \frac{1}{512}}$は第何項か．

(2)　第$300$項を求めよ．ただし，既約分数で表せ．

(3)　$k$を自然数とする．$n=2k^2+k+1$のとき，初項から第$n$項までの和を$k$を用いて表せ．

【４】　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の曲線$y=f(x)$$\text{（}x>0\text{）}$上の点$(t,f(t))$における接線を$l$とし，$l$と$x$軸の交点を$\mathrm{P}\text{，}$$l$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．また，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S$とする．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$S$を$t$を用いて表せ．

(3)　$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$S$の最小値を求めよ．

【１】　座標空間内の点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{D}(1,1,2)\text{，}$$\mathrm{E}(0,1,2)$を考える．線分$\mathrm{OA}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{BE}$上で$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=s(0,0,1)$$\text{（}0\leqq s\leqq 2\text{）}$となる点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{PQ}$上で$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=t\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$$\text{（}0<t\leqq 1\text{）}$となる点を$\mathrm{R}\text{，}$直線$\mathrm{OR}$と平面$\mathrm{BCE}$との交点を$\mathrm{S}$とおく．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{S}$が平面$\mathrm{BCE}$上の四角形$\mathrm{BCDE}$の周または内部にあるための$s\text{，}$$t$の条件を求めよ．

(3)　$s\text{，}$$t$が(2)の条件を満たすとき，平面$\mathrm{BEP}$上で点$\mathrm{R}$が描く図形の面積を求めよ．

【２】　$t$を実数とする．$x$の$2$次方程式$x^2-(2t^2-3)x$$+t^4$$-7t^2$$+6t=0$$\cdots$(＊)について，次の問いに答えよ．

(1)　$x=0$が(＊)の解となる$t$の値をすべて求めよ．

(2)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を実数とする．すべての実数$t$について$x=t^2+at+b$および$x=t^2+ct+d$が(＊)の解となる$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$の値を求めよ．ただし，$b>d$とする．

(3)　(2)の$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$に対し，$\alpha (t)=t^2+at+b\text{，}$$\beta (t)=t^2+ct+d$として，関数$f(t)$を以下の式で定める．

$f(t)=\{\begin{array}{ll}|\alpha (t\left)\right|& \text{（}|\alpha (t\left)\right|\geqq |\beta (t\left)\right|\text{のとき）}\\ |\beta (t\left)\right|& \text{（}|\alpha (t\left)\right|<|\beta (t\left)\right|\text{のとき）}\end{array}$

$t$が実数全体を動くとき，$f(t)$の最小値を求めよ．

【３】　$f(x)=x+\sqrt{2x-x^2}$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\text{）}$とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の曲線$C\text{：}y=f(x)$と直線$l\text{：}y=x$を考える．

(1)　関数$f(x)$の増減を調べ，$f(x)$の最大値および最小値を求めよ．

(2)　曲線$C$上の点$\mathrm{P}(x,f(x))$$\text{（}0<x<2\text{）}$から直線$l$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とする．線分$\mathrm{PH}$の長さを$r\text{，}$線分$\mathrm{OH}$の長さを$t$とするとき，$r$および$t$をそれぞれ$x$を用いて表せ．

(3)　直線$l$と直線$y=-x+3$との交点を$\mathrm{A}\text{，}$曲線$C$と直線$y=-x+3$との交点を$\mathrm{B}$とする．曲線$C$と$2$つの線分$\mathrm{OA}$と$\mathrm{AB}$で囲まれた部分を，直線$l$の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【４】　$n$を$3$以上の整数とする．$3$つの整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$$\text{（}1\leqq a$$<b$$<c$$\leqq 2n\text{）}$に対して，$p=b-a$と$q=c-b$とする．$⟨a,b,c⟩$の値を$p\geqq q$ならば$⟨a,b,c⟩=p$とし，$p<q$ならば$⟨a,b,c⟩=q$とする．$(2n-2)$以下の自然数$k$に対して，$⟨a,b,c⟩=k$となる$3$つの整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$$\text{（}1$$\leqq a$$<b$$<c$$\leqq 2$$n\text{）}$の選び方の総数を$S(k)$とする．

(1)　$n=3$のとき，$S(2)\text{，}$$S(3)$を求めよ．

(2)　$n\leqq k\leqq 2n-2$のとき，$S(k)$を$k\text{，}$$n$を用いて表せ．

(3)　$1\leqq k\leqq n-1$のとき，$S(k)$を$k\text{，}$$n$を用いて表せ．

(4)　$k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{，}$$2n-2$に対する$S(k)$の最大値を$M$とする．$n$が$3$の倍数のとき，$M$を$n$を用いて表せ．