2025　山口大学　後期理学部物理情報科,化,生物学科MathJax

【１】　次の問いに答えなさい．解答は答えのみを書きなさい．

(1)　数列$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=a_n+3n+1$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．

(ⅰ)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

(ⅱ)　$n$を自然数とし，$a_n<k<a_{n+1}$を満たすすべての自然数$k$の和を$T_n$とする．$T_n$を$n$を用いて表しなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．解答は答えのみを書きなさい．

(2)　赤玉$3$個と白玉$4$個が入った袋$\mathrm{A}\text{，}$赤玉$3$個が入った袋$\mathrm{B}\text{，}$白玉$4$個が入った袋$\mathrm{C}$がある．これらの袋に対し，次の試行を行う．

まず袋$\mathrm{A}$から$n$個の玉を取り出して袋$\mathrm{B}$に入れ，よくかき混ぜ，

次に袋$\mathrm{B}$から$n$個の玉を取り出して袋$\mathrm{C}$に入れ，よくかき混ぜ，

最後に袋$\mathrm{C}$から$n$個の玉を取り出して袋$\mathrm{A}$に入れる．

このとき，次の各場合について答えなさい．

(ⅰ)　$n=1$のとき，試行が終わった後の袋$\mathrm{A}$に入っている赤玉，白玉の個数がともに試行前と同じである確率を求めなさい．

(ⅱ)　$n=2$のとき，試行が終わった後のどの袋も赤玉，白玉の個数がともに試行前と同じである確率を求めなさい．

(ⅲ)　$n=3$のとき，試行が終わった後に袋$\mathrm{A}$の中が白玉だけである確率を求めなさい．

【２】　角$\alpha$を$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{5}}$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$\cos 3\alpha =-\cos 2\alpha$が成り立つことを示しなさい．

(2)　一般に，角$\theta$について，次の$3$倍角の公式と呼ばれる等式が知られている．

$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$

この等式が成り立つことを，$3\theta =\theta +2\theta$であることを用いて示しなさい．

(3)　$\cos \theta =t$とおく．$4t^3+2t^2-3t-1=0$が成り立つことを示しなさい．

(4)　$\cos \alpha$の値を求めなさい．

(5)　$\cos 2\theta \text{，}$$\cos 3\alpha \text{，}$$\cos 4\alpha$の値をそれぞれ求めなさい．

【３】　直方体$\mathrm{OAQB‐CPDR}$において，$\mathrm{▵PQR}$の重心を$\mathrm{G}$とする．また，点$\mathrm{H}$は線分$\mathrm{AB}$上にあり，$\mathrm{AH}:\mathrm{HB}=t:(1-t)\text{，}$$0<t<1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$のそれぞれを，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表しなさい．

(2)　$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=1$のときを考える．このとき，どのような$t$の値に対しても$\mathrm{OH}=\mathrm{GH}$が成り立つことを示しなさい．

(3)　$\left|\overrightarrow{a}\right|=4\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=2\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{GH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$のときを考える．

(ⅰ)　$t$の値を求めなさい．

(ⅱ)　$\cos \mathrm{\angle OHG}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}$のとき，$\left|\overrightarrow{c}\right|$の値を求めなさい．

【４】　$f(x)={\displaystyle \frac{x^3-2x}{x^2-3}}$とする．次の問いに答えなさい．ただし，(1)の解答は答えのみを書きなさい．

(1)　次の極限を求めなさい．

$\text{(ⅰ) }\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$$\text{(ⅱ) }\underset{x\to \sqrt{3}+0}{\lim }f(x)$$\text{(ⅲ) }\underset{x\to \sqrt{3}-0}{\lim }f(x)$

(2)　関数$y=f(x)$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$の増減，極値を調べ，そのグラフの概形をかきなさい．ただし，グラフの凹凸や変曲点は調べなくてよい．

(3)　$k$は定数とする．$3$次方程式

$x^3-k{x}^2-2x+3k=0$

の$x\geqq 0$の範囲にある実数解の個数を求めなさい．