2025　山口大学　後期理学部数理科学科MathJax

【１】　$\alpha \text{，}$$\beta$を$0<\alpha <\beta$を満たす実数とする．座標平面上の曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$を$C\text{，}$$C$上の$2$点$(\alpha ,{\displaystyle \frac{1}{\alpha }})\text{，}$$(\beta ,{\displaystyle \frac{1}{\beta }})$を通る直線を$l\text{，}$$C$と$x$軸および$2$直線$x=\alpha \text{，}$$x=\beta$で囲まれた図形の面積を$S$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$\beta$を$\alpha$と$S$を用いて表しなさい．

(2)　$l$の方程式を$\alpha$と$S$を用いて表しなさい．

(3)　$S={\log }_{e}2$とし，点$({\displaystyle \frac{9}{4}},{\displaystyle \frac{9}{4}})$と$l$の距離を$d$とする．

(ⅰ)　$d$を$\alpha$を用いて表しなさい．

(ⅱ)　極限値$\underset{\alpha \to +0}{\lim }d\text{，}$$\underset{\alpha \to \infty }{\lim }d$をそれぞれ求めなさい．

(ⅲ)　$\alpha$がすべての正の実数値をとって変化するとき，$d$の最小値を求めなさい．

【２】　座標平面上の図形に関する次の問いに答えなさい．

(1)　$a\text{，}$$b$を$a^2+b^2\ne 0$を満たす定数とする．点$\mathrm{G}(a,b)$を中心とし，原点$\mathrm{O}$を通る円を$C$とする．$\mathrm{O}$ではない$C$上の異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が$\mathrm{\angle POG}$$=\mathrm{\angle QOG}$$={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$を満たすとする．

(ⅰ)　$C$の方程式を求めなさい．

(ⅱ)　線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{OQ}$の長さをそれぞれ求めなさい．

(ⅲ)　直線$\mathrm{PQ}$の方程式を求めなさい．

(ⅳ)　$\mathrm{P}$の$x$座標を求めなさい．

【２】　座標平面上の図形に関する次の問いに答えなさい．

(2)　$x$座標と$y$座標がともに有理数である点を有理点という．以下の問いの解答において，必要ならば$\sqrt{3}$が無理数であることを用いてもよい．

(ⅰ)　原点を頂点の$1$つとする正三角形の残り$2$つの頂点のうち，少なくとも$1$つは有理点でないことを示しなさい．

(ⅱ)　すべての頂点が有理点である正三角形は存在しないことを示しなさい．

【３】　$0$以上$4$以下の整数$n$に対し，$x$の多項式（整式）$T_n(x)$を

$T_0(x)=1\text{，}$$T_1(x)=x\text{，}$

$T_n(x)=2x{T}_{n-1}(x)-T_{n-2}(x)$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{）}$

により定める．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$T_3(x)\text{，}$$T_4(x)$をそれぞれ求めなさい．

(2)　どのような角$\theta$についても$T_3(\cos \theta )=\cos 3\theta \text{，}$$T_4(\cos \theta )=\cos 4\theta$が成り立つことをそれぞれ示しなさい．

(3)　$0\leqq \theta <\pi$のとき，方程式$T_4(\cos \theta )=T_3(\cos \theta )$を満たす$\theta$の値をすべて求めなさい．また，次の値を求めなさい．

$\cos {\displaystyle \frac{2}{7}}\pi \cos {\displaystyle \frac{4}{7}}\pi \cos {\displaystyle \frac{6}{7}}\pi$