2025　山口大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えなさい．ただし，解答は答えのみを解答用紙の所定の解答欄に記入しなさい．

(1)　次の複素数を極形式$r(\cos \theta +i\sin \theta )$で表すとき，$r$と$\theta$の値を求めなさい．ただし，$r>0$で，偏角$\theta$の範囲は$0\leqq \theta <2\pi$とする．また，$i$を虚数単位とする．

(ⅰ)　${({\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}}i)}^2$

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}}i$

【１】　次の問いに答えなさい．ただし，解答は答えのみを解答用紙の所定の解答欄に記入しなさい．

(2)　数列$\{a_n\}$が

$a_1=3\text{，}$$a_{n+1}{a}_n-3a_n+2=0$

で定められるとき，次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　数列$\{b_n\}$を

$b_1=3\text{，}$$b_{n+1}=a_{n+1}{b}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．$n\geqq 2$に対して，$b_{n+1}$を$b_n$と$b_{n-1}$を用いて表しなさい．

(ⅱ)　(ⅰ)で定めた数列$\{b_n\}$に対して，$b_{n+1}-b_n$を$n$を用いて表しなさい．

(ⅲ)　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めなさい．

【２】　$\mathrm{OA}=2\text{，}$$\mathrm{OB}=3\text{，}$$\mathrm{AB}=\sqrt{7}$である$\mathrm{▵OAB}$に対して，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めなさい．

(2)　点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$におろした垂線の交点を$\mathrm{C}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．

(3)　点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$におろした垂線の交点を$\mathrm{D}$とする．また，直線$\mathrm{AC}$と直線$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．

(4)　$\mathrm{▵OAH}$の面積を$S_1\text{，}$$\mathrm{▵OBH}$の面積を$S_2$とするとき，${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$を求めなさい．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}|x-t|\sin t\mathit{dt}$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$について，次の問いに答えなさい．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }t\sin t\mathit{dt}$を求めなさい．

(2)　$\pi \leqq x\leqq 2\pi$のとき，$f(x)$を求めなさい．

(3)　$0\leqq x<\pi$のとき，$f(x)$を求めなさい．

(4)　$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値，および$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めなさい．

【４】　$a\text{，}$$b$を実数で，$b\ne 0$とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解を$\alpha \text{，}$$\beta$とし，自然数$n$に対し，

$M_1=\alpha +\beta$

$M_2={\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2$

$\cdots$

$M_n={\alpha }^n+{\alpha }^{n-1}\beta$$+\cdots$$+{\alpha }^{n-r}{\beta }^r$$+\cdots$$+\alpha {\beta }^{n-1}+{\beta }^n$

とおく．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$a=-2\text{，}$$b=-2$とする．このとき，$M_3={\alpha }^3$$+{\alpha }^2\beta$$+\alpha {\beta }^2+{\beta }^3$の値を求めなさい．

(2)　$a=-4\text{，}$$b=3$とする．このとき，自然数$M_{99}$の桁数を求めなさい．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

(3)　$a=-4\text{，}$$b=4$とする．このとき，和$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{M}_k$を求めなさい．

【２】　関数$f(x)=e^x-1$について，次の問いに答えなさい．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　$f(x)$の逆関数$f^{-1}(x)$を求めなさい．

(2)　$f^{-1}(x)$の不定積分${\displaystyle \int }{f}^{-1}(x)\mathit{dx}$を求めなさい．

(3)　$k$を正の定数とする．$x\geqq 0$に対して，関数$g(x)$を次のように定める．

$g(x)={\displaystyle {\int }_0^k}f(t)\mathit{dt}$$+{\displaystyle {\int }_0^x}{f}^{-1}(t)\mathit{dt}-kx$

$g(x)$の最小値を求めなさい．また，そのときの$x$の値を求めなさい．

【３】　$p\text{，}$$q$は実数で，$p>0\text{，}$$q<0$とする．座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，放物線$y=x^2$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(p,p^2)\text{，}$$\mathrm{Q}(q,q^2)$について，次の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{\angle PQO}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の組が存在するような$p$の値の範囲を求めなさい．

(2)　次の条件１，２をともに満たす$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の組をすべて求めなさい．

条件１　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$について，$\mathrm{\angle POQ}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である．

条件２　$C$上の点$\mathrm{R}$について，$\mathrm{R}$が$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$のいずれとも異なるならば$\mathrm{\angle PRQ}\ne {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である．

【４】　命題$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を次のように定める．

命題$\mathrm{P}$　$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$を$\alpha$$+\beta$$+\gamma$$=2\pi$を満たす正の実数とする．$\cos \alpha$$+\cos \beta$$+\cos \gamma$$=-1$ならば，$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$のうちいずれか一つが$\pi$である．

命題$\mathrm{Q}$　$\mathrm{▵ABC}$の重心を$\mathrm{G}\text{，}$外心を$\mathrm{O}\text{，}$外接円の半径を$R$とする．$R=3\mathrm{OG}$ならば，$\mathrm{▵ABC}$は直角三角形である．

このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　命題$\mathrm{P}$が真であることを証明しなさい．

(2)　命題$\mathrm{Q}$が真であることを証明しなさい．必要ならば，命題$\mathrm{P}$が真であることを用いてよい．

【１】　次の問いに答えなさい．ただし，解答は答のみを解答用紙の所定の解答欄に記入しなさい．

(1)　$n$を$3$以上の自然数とする．箱の中に$1$から$n$までの数字が$1$つずつ書かれた$n$枚のカードが入っている．この中から，$2$枚のカードを同時に取り出し，$2$枚のうち大きい方の数を$X\text{，}$小さい方の数を$Y$とする．

(ⅰ)　$X-Y=1$となる確率を求めなさい．

(ⅱ)　$X-Y=2$となる確率を求めなさい．

(ⅲ)　$X-Y=k$となる確率を求めなさい．ただし，$k$は$1\leqq k\leqq n-1$を満たす自然数とする．

【１】　次の問いに答えなさい．ただし，解答は答のみを解答用紙の所定の解答欄に記入しなさい．

(2)　$\{a_n\}$を$a_3=9\text{，}$$a_7=-3$である等差数列とし，自然数$n$に対して$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とおく．

(ⅰ)　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めなさい．

(ⅱ)　$S_n$を求めなさい．

(ⅲ)　$S_n=-39$となる自然数$n$を求めなさい．

【２】　$a$を正の定数とする．座標平面上の放物線$y=x^2$を$C$とするとき，次の問いに答えなさい．ただし，(1)の解答は答えのみを解答用紙の所定の解答欄に記入しなさい．

(1)　$C$上の点$(t,t^2)$における接線の方程式を求めなさい．

(2)　$C$に点$\mathrm{P}(a,-3a^2)$から引いた接線は$2$本ある．それぞれの接点の座標を求めなさい．

(3)　(2)で求めた$2$つの接点を通る直線$l$の方程式を求めなさい．

(4)　$C$と(3)で求めた$l$で囲まれた部分の面積を求めなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(1)　不等式${\log }_3(a^2-1)\leqq 2$を満たす正の整数$a$をすべて求めなさい．

(2)　不等式$2{\log }_{3}b\leqq 2{\log }_{3}6-{\log }_{3}a$を満たす整数の組$(a,b)$の個数を求めなさい．

(3)　不等式${\log }_3(a^2-1)$$\leqq 2{\log }_{3}b$$\leqq 2{\log }_{3}6-{\log }_{3}a$を満たす整数の組$(a,b)$をすべて求めなさい．

【４】　$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$を$T$とし，$T$の重心を中心とする半径$r$の円を$S$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$S$と$T$が右図のように異なる$6$点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_6$で交わるような$r$の値の範囲を求めなさい．

　以下，$S$と$T$は異なる$6$点で交わるとする．

(2)　六角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4{\mathrm{P}}_5{\mathrm{P}}_6$が正六角形であるとき，$r$の値を求めなさい．

(3)　六角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4{\mathrm{P}}_5{\mathrm{P}}_6$の$6$辺の長さの和が${\displaystyle \frac{5}{2}}$であるとする．

(ⅰ)　$\mathrm{A}{\mathrm{P}}_1$の長さを求めなさい．

(ⅱ)　$r$の値を求めなさい．