2025　広島大学　総合型選抜情報科学部小論文MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　二つの$2$次方程式$x^2-(k-3)x$$+3k+2=0$と$x^2+(k-1)x$$+k$$+6=0$がただ$1$つの実数を共通解としてもつとき，実数の定数$k$の値と，そのときの共通解を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　実数$x\text{，}$$y$が$x^2+y^2=4$を満たすとき，$2x^2+3y^2+2y$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　正の実数$x\text{，}$$y$が$xy=4$を満たすとき，${({\log }_{2}x)}^2+{({\log }_{2}y)}^2$の最小値を求めよ．また，そのときの$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

【２】　整数$a\text{，}$$b$および$2$以上の整数$p$に対して，$a-b$が$p$の倍数であるとき，$a$と$b$は$p$を法としして合同であるといい

$a\equiv b(\mathrm{mod}p)$

と表す．以下の問いに答えよ．ただし，次に示す性質を用いて良い．

(1)　$10\equiv -1(\mathrm{mod}11)$となることを示せ．

(2)　$100\equiv 1(\mathrm{mod}11)$となることを示せ．

(3)　$n$を正の整数とする．${10}^n\equiv {(-1)}^n(\mathrm{mod}11)$を証明せよ．

(4)　$n$桁の正の整数$N={\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{a}_k{10}^k$$=a_{n-1}{a}_{n-2}\cdots a_1{a}_0$を考える．ここで，$a_k$は$k+1$桁目の数字を表し，$a_{n-1}$は$1$から$9$までの整数のいずれか，$a_{n-2}\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_0$は$0$から$9$までの整数のいずれかである．また，整数$M$を次のように定義する．

$M=(\text{添え字}k\text{が偶数の}{a}_k\text{の総和})$$-(\text{添え字}k\text{が奇数の}{a}_k\text{の総和})$

例えば，$N=12345$の場合，$M=(a_0+a_2+a_4)$$-(a_1+a_3)$$=(5+3+1)$$-(4+2)=3$となる．$N\equiv M(\mathrm{mod}11)$であることを証明せよ．

(5)　右から読んでも左から読んでも同じ数字の列となっている数を回文数という．例えば$12321$や$135531$は回文数である．桁数が偶数の回文数が$11$で割り切れることを示せ．

【３】　二人のプレーヤーが二つのサイコロ$\mathrm{A}\text{，}$サイコロ$\mathrm{B}$を使って以下のゲームをする．ただし，いずれのサイコロもすべての面が同じ確率で出るものとする．以下の問いに答えよ．

(1)　先攻がサイコロ$\mathrm{A}$を使って$x$$\text{（}=1\text{，}$$\cdots \text{，}$$6\text{）}$の数字が出た．後攻がサイコロ$\mathrm{A}$を使って勝つ確率を$x=1\text{，}$$\cdots \text{，}$$6$のそれぞれの場合について求めよ．

(2)　先攻がサイコロ$\mathrm{A}$を使って$x$$\text{（}=1\text{，}$$\cdots \text{，}$$6\text{）}$の数字が出た．後攻がサイコロ$\mathrm{B}$を使って勝つ確率を$x=1\text{，}$$\cdots \text{，}$$6$のそれぞれの場合について求めよ．

(3)　先攻がサイコロ$\mathrm{A}$を使うとき，後攻が勝つ確率を求めよ．ただし，後攻は先攻の結果を見てから，図１のルールに従ってサイコロを選ぶものとする．

(4)　先攻はどちらのサイコロを選ぶ方が良いと考えられるか．先攻が勝つ確率を算出して考察せよ．ただし，後攻は先攻の結果を見てから，図１のルールに従ってサイコロを選ぶものとする．