2025　広島大学　総合型選抜理学部数学科MathJax

【１】　三角形$\mathrm{OAB}$と$0<t<1$を満たす実数$t$に対し，辺$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$から二つの直線$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}$に下ろした垂線をそれぞれ$\mathrm{PQ}\text{，}$$\mathrm{PR}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=24\text{，}$$\left|\overrightarrow{a}\right|=6\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=2\sqrt{13}$が成り立つとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\left|\overrightarrow{b}\right|$の値と$\mathrm{\angle AOB}$をそれぞれ求めよ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|$と$\left|\overrightarrow{\mathrm{OR}}\right|$をそれぞれ$t$を用いて表せ．

(3)　関数$f(t)$を$f(t)=\left|\overrightarrow{\mathrm{QR}}\right|$により定める．区間$0<t<1$における$f(t)$の最小値を求めよ．

【２】　虚部が正の複素数$\alpha$は$0<\left|\alpha \right|\leqq 3$を満たすとし，$\beta ={\displaystyle \frac{9}{\bar{\alpha }}}$とおく．ただし，$\bar{\alpha }$は$\alpha$の共役複素数を表す．複素数平面において，$0\text{，}$$5\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$を表す点をそれぞれ$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とし，点$\mathrm{P}$を中心とする半径$4$の円を$C_1\text{，}$点$\mathrm{O}$を中心とする半径$3$の円を$C_2$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は一直線上にあることを示せ．

(2)　点$\mathrm{A}$が円$C_1$上にあるとき，点$\mathrm{B}$も円$C_1$上にあることを示せ．

(3)　点$\mathrm{A}$が二つの円$C_1$と$C_2$の共有点であるとき，$\alpha$と${\displaystyle \frac{\alpha -5}{\alpha }}$の値を求めよ．

(4)　(3)のとき，三角形$\mathrm{OAP}$の面積を求めよ．

【３】　$a$を実数とする．座標平面上の放物線$C\text{：}y=x^2$と直線$l\text{：}y=x-a$は共有点をもたないとする．実数$t$に対し，放物線$C$上の二つの点$\mathrm{P}(t,t^2)\text{，}$$\mathrm{S}(t+1,{(t+1)}^2)$から直線$l$に下ろした垂線をそれぞれ$\mathrm{PQ}\text{，}$$\mathrm{SR}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　放物線$C$と直線$l$が共有点をもたないことから，$a$が満たす条件を求めよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$の座標を$a$と$t$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小となるような$t$を$t_1$とする．$t_1$の値を求めよ．

(4)　(3)で求めた$t_1$に対し，$t=t_1$のときの四角形$\mathrm{PQRS}$の面積を$a$を用いて表せ．

【４】　$N$を$3$以上の整数とする．$0<p<1$に対し，表の出る確率が$p$であるコインがある．$k=1\text{，}$$2$それぞれの場合に，次の(A)と(B)の少なくとも一方が起こるまでこのコインを続けて投げる試行$T_k$を考える．

(A)　表が$k$回出る

(B)　コインを投げた回数が$N$回になる

試行$T_k$の終了時点までにコインを投げた回数を$X_k$とし，そのうち表が出た回数を$Y_k$とする．$k=1\text{，}$$2$と$x=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$N$に対し，$X_k=x$である確率を$P_k(x)$と表す．以下の問いに答えよ．

(1)　$x=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$N$に対し，$P_1(x)$を求めよ．

(2)　$x=2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{，}$$N$に対し，$P_2(x)$を求めよ．

(3)　$k=1\text{，}$$2$に対し，$X_k=N$かつ$Y_k=k$である確率を$Q_k$とする．$Q_1>Q_2$となる$p$の範囲を$N$を用いて表せ．

(4)　$k=1\text{，}$$2$に対し，$Y_k=k$である確率を$R_k$とする．$R_1>R_2$が成り立つことを示せ．

【５】　$r(\theta )=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos 2\theta$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　次の関数の最大値と最小値を求めよ．

$f(\theta )=r(\theta )\cos \theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$

(2)　次の関数の最大値と最小値を求めよ．

$g(\theta )=r(\theta )\sin \theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\displaystyle \frac{{\{r(\theta )\}}^2}{2}}\mathit{d\theta }$を求めよ．

(4)　座標平面上の曲線$x=r(\theta )\cos \theta \text{，}$$y=r(\theta )\sin \theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S$とする．$S={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\displaystyle \frac{{\{r(\theta )\}}^2}{2}}\mathit{d\theta }$が成り立つことを示せ．