2025　広島大学　後期理学部数学科MathJax

【１】　$\alpha <0\text{，}$$\beta >0$とする．開区間$\alpha <x<\beta$で微分可能な関数$f(x)$と実数$a$に対し，原点を$\mathrm{O}(0,0)$とする座標平面上の点$\mathrm{A}(2,a)$と曲線$C\text{：}y=f(x)$は次の性質(＊)をもつとする．

(＊)　$\{\begin{array}{l}\text{点}\mathrm{A}\text{を通る直線}l\text{が曲線}C\text{と共有点}\mathrm{P}(t,f(t))\\ \text{をもつとき，直線}l\text{は点}\mathrm{P}\text{における曲線}C\text{の}\\ \text{接線と垂直である．}\end{array}$

次の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)$を$f(x)$の導関数とする．$\alpha <t<\beta$かつ$f(t)\ne a$のとき，$f^{\prime }(t)$を$a\text{，}$$t$および$f(t)$を用いて表せ．

(2)　曲線$C$が原点$\mathrm{O}(0,0)$を通り，さらに点$\mathrm{O}$における曲線$C$の接線の方程式が$2x+3y=0$であるとき，$a$の値を求めよ．

(3)　$a$を(2)で求めた値とする．このとき，曲線$C$上の点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{A}$の距離は点$\mathrm{P}$の位置によらず定数であることを示せ．

【２】　座標空間内に，点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$を頂点とする正八面体$T$があり，さらに次の(ⅰ)〜(ⅴ)の条件が成り立つとする．

(ⅰ)　正八面体$T$のすべての頂点の$z$座標は$0$以上である．

(ⅱ)　正八面体$T$と$xy$平面との共通部分は三角形$\mathrm{OAB}$である．

(ⅲ)　点$\mathrm{A}$の座標は$(2,0,0)$であり，点$\mathrm{B}$の$y$座標は正である．

(ⅳ)　点$\mathrm{C}$と点$\mathrm{A}$の距離は$2$より大きい．

(ⅴ)　点$\mathrm{D}$と点$\mathrm{O}$の距離は$2$である．

次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(3)　正八面体$T$のすべての頂点を通る球面と$xy$平面により囲まれた二つの部分のうち，小さい方の体積を求めよ．

【３】　袋の中に$1$から$30$までの整数が一つずつ書かれた$30$枚のカードが入っている．この袋からカードを$1$枚取り出し，取り出したカードに書かれた数を得点として記録した後，袋に戻すという試行を考える．$\mathrm{X}$さん，$\mathrm{Y}$さんの$2$名がこの試行を$5$回ずつ行うことにした．$\mathrm{X}$さん，$\mathrm{Y}$さん共にこの試行を$4$回ずつ終えたときの結果をまとめたものが次の表である．

5 回目の試行はこれから行うので，上の表では空欄になっている．次の(A)，(B)の各問いに答えよ．

(A)　$\mathrm{X}$さん，$\mathrm{Y}$さんがそれぞれ$5$回目の試行を行って得た得点をそれぞれ$a\text{，}$$b$とする．この$5$回の試行により得られた得点の平均値，分散，相関係数に関する次の問いに答えよ．

(A-1)　$\mathrm{X}$さんの得点の平均値と分散が$\mathrm{Y}$さんの得点の平均値と分散にそれぞれ等しいとき，$a$と$b$の値を求めよ．

(A-2)　$a\text{，}$$b$を(A-1)で求めたものとする．このとき，$\mathrm{X}$さんの得点と$\mathrm{Y}$さんの得点の相関係数を求め，既約分数（それ以上約分できない分数）で表せ．

(B)　$\mathrm{X}$さん，$\mathrm{Y}$さんがそれぞれ$5$回目の試行を行って得た得点を上の表に記入し，表を完成させる．$\mathrm{X}$さん，$\mathrm{Y}$さんの得点の平均値，中央値に関する次の問いに答えよ．

(B-1)　$\mathrm{X}$さんの得点の中央値が$\mathrm{X}$さんの得点の平均値より大きくなる確率を求め，既約分数で表せ．

(B-2)　$\mathrm{Y}$さんの得点の中央値が$\mathrm{X}$さんの得点の中央値より大きくなる確率を求め，既約分数で表せ．

【４】　$3$次方程式

$x^3+2x-1=0$$\cdots \text{(＊)}$

について，次の問いに答えよ．

(1)　次を示せ．

$\{\begin{array}{l}3\text{次方程式(＊)はただ一つの実数解をもつ．}\\ \text{この実数解を}\alpha \text{と表すと}0<\alpha <{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \text{が成り立つ．}\end{array}$

(2)　$3$次方程式(＊)の虚数解のうち，虚部が大きい方を$\beta \text{，}$小さい方を$\gamma$と表す．$\beta$と$\gamma$を(1)で定めた$\alpha$を用いて表せ．

(3)　複素数平面において，(1)，(2)で定めた$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$の表す点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とする．三角形$\mathrm{ABC}$における内角$\mathrm{\angle A}$と${\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$はどちらが大きいか判定せよ．

【５】　実数$a$および正の実数$b$に対し，次の曲線$C$と$D$を考える．

$C\text{：}y=a-b\log x$$D\text{：}y=e^{-{\displaystyle \frac{x-a}{b}}}$

$f(x)=a-b\log x$とおく．曲線$C$と直線$y=x$との交点がただ一つであることは，関数$f(x)-x$が区間$(0,\infty )$で減少し，さらに$\underset{x\to +0}{\lim }\{f(x)-x\}=\infty$および$\underset{x\to \infty }{\lim }\{f(x)-x\}=-\infty$が成り立つことからわかる．この交点の$x$座標を$p$とおく．

$g(x)=e^{-\frac{x-a}{b}}+b\log x-a$

とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$g(p)=0$を示せ．

(2)　$g^{\prime }(p)<0$のとき，$g^{\prime }(x)=0$を満たす$x$はちょうど$2$個であることを示せ．

(3)　正の実数$c_1\text{，}$$c_2$が$0<c_1<c_2\text{，}$$g^{\prime }(c_1)=0\text{，}$$g^{\prime }(c_2)=0$を満たし，さらに

$g(c_1)>0$かつ$g(c_2)<0$

を満たすとき，曲線$C$と曲線$D$の共有点の数を求めよ．