2025　広島大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．ただし，$\log$は自然対数を表す．

(1)　$x>0$で定義された次の関数の最大値を求めよ．

$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{\sqrt{x}}}$

(2)　次の不定積分をそれぞれ求めよ．

${\displaystyle \int }\log x\mathit{dx}\text{，}$${\displaystyle \int }{(\log x)}^2\mathit{dx}$

(3)　(1)で求めた最大値を$a$として，座標平面上の二つの曲線$C_1\text{：}:y=a\sqrt{x}\text{，}$$C_2\text{：}y=\log x$を考える．$x$軸と二つの曲線$C_1\text{，}$$C_2$によって囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【２】　$a>0$とし，$p$を実数とする．座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(0,a)\text{，}$$\mathrm{B}(-1,0)\text{，}$$\mathrm{C}(1,0)$を考える．点${\mathrm{P}}_n\text{，}$${\mathrm{Q}}_n\text{，}$${\mathrm{R}}_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$が以下の二つの条件を満たすとする．

(ⅰ)　点${\mathrm{P}}_1$は直線$\mathrm{AB}$上にあり，$x$座標が$p$である．

(ⅱ)　自然数$n$に対し，

・点${\mathrm{P}}_n$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点が${\mathrm{Q}}_n$である．ただし，点${\mathrm{P}}_n$が$x$軸上にあるときは，点${\mathrm{Q}}_n$は${\mathrm{P}}_n$と同じ点であるとする．

・点${\mathrm{Q}}_n$から直線$\mathrm{AC}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AC}$との交点が${\mathrm{R}}_n$である．ただし，点${\mathrm{Q}}_n$が直線$\mathrm{AC}$上にあるときは，点${\mathrm{R}}_n$は${\mathrm{Q}}_n$と同じ点であるとする．

・点${\mathrm{R}}_n$を通り$x$軸と平行な直線と直線$\mathrm{AB}$との交点が${\mathrm{P}}_{n+1}$である．

　点${\mathrm{P}}_n$の$x$座標を$x_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　点${\mathrm{R}}_1$の座標を$a\text{，}$$p$を用いて表せ．

(2)　命題

「点${\mathrm{P}}_1$が線分$\mathrm{AB}$上にあるならば，点${\mathrm{R}}_1$は線分$\mathrm{AC}$上にある」

が真であるような$a$の値の範囲を求めよ．ただし，線分は両端を含むものとする．

(3)　$x_n$を$a\text{，}$$n\text{，}$$p$を用いて表せ．

(4)　$a=2\text{，}$$p=0$であるとき，不等式

$|x_{n+1}-x_n|<{10}^{-10}$

を満たす最小の自然数$n$を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【３】　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$を満たす$\theta$に対し，座標平面上の原点$\mathrm{O}(0,0)$を中心とする半径$1$の円上の$4$点

$\mathrm{A}(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}$$\mathrm{C}(\cos 2\theta ,\sin 2\theta )\text{，}$$\mathrm{D}(\cos 3\theta ,\sin 3\theta )$

を考え，$\mathrm{▵OAD}$の面積を$S(\theta )\text{，}$$\mathrm{▵ABC}$の面積を$T(\theta )\text{，}$$\mathrm{▵ABD}$の面積を$U(\theta )$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\underset{\theta \to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{S(\theta )}{\theta }}$を求めよ．

(2)　$\underset{\theta \to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{T(\theta )}{{\theta }^3}}$を求めよ．

(3)　$t=\cos \theta$とおく．${\displaystyle \frac{U(\theta )}{\sin \theta }}$を$t$の整式で表せ．

(4)　関数$f(\theta )$を

$f(\theta )={\displaystyle \frac{T(\theta )}{U(\theta )}}$

と定義する．$\underset{\theta \to +0}{\lim }f(\theta )$を求めよ．また，$\theta$が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$の範囲を動くとき，$f(\theta )$のとり得る値の範囲を求めよ．

【４】　$n$を自然数とする．$(3n+1)$個の箱${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{A}}_{3n+1}$があり，$1$から$3n+1$までの各自然数$k$に対して，$k$番目の箱${\mathrm{A}}_k$には，$1$から$k$までの整数が一つずつ書かれた$k$枚のカードが入っている．これを初期状態とする．次の問いに答えよ．

(1)　箱${\mathrm{A}}_{3n+1}$に入っているすべてのカードに書かれた整数の平均値$L$を$n$を用いて表せ．

(2)　箱${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{A}}_{3n+1}$に入っているすべてのカードに書かれた整数の平均値$M$を$n$を用いて表せ．

(3)　初期状態から，箱${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{A}}_{3n+1}$に入っているすべてのカードを箱$\mathrm{B}$に移す．箱$\mathrm{B}$から$1$枚のカードを取り出すとき，カードに書かれた整数が(2)で求めた値$M$に等しくなる確率を$P(n)$とする．$P(n)$を$n$を用いて表せ．

(4)　$M$を(2)で求めた値とする．初期状態から，箱${\mathrm{A}}_M\text{，}$${\mathrm{A}}_{M+1}\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{A}}_{3n+1}$だけ集めて，ケース$\mathrm{C}$に収納する．ケース$\mathrm{C}$から一つの箱を選び，さらにその箱から$1$枚のカードを取り出す．カードに書かれた整数が$M$に等しいとき，そのカードが箱${\mathrm{A}}_{3n+1}$から取り出されている条件付き確率を$Q(n)$とする．$\underset{n\to \infty }{\lim }nQ(n)$を求めよ．

【５】　$i$を虚数単位とする．複素数$z_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を

$z_1=\sqrt{3}+2i\text{，}$$z_{n+1}=2{(z_n-i)}^2+i$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．次の問いに答えよ．

(1)　$z_2-i$と$z_3-i$を極形式で表せ．

(2)　$z_n-i$を極形式で

$z_n-i=r_n(\cos {\theta }_n+i\sin {\theta }_n)$

と表したとき，${\log }_2{r}_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　$z_n$を$n$を用いて表せ．

(4)　複素数$z_n$が表す複素数平面上の点を${\mathrm{P}}_n$とする．$3$点${\mathrm{P}}_3\text{，}$${\mathrm{P}}_5\text{，}$${\mathrm{P}}_{2025}$が一直線上にあることを示せ．

【１】　$1$個のさいころを$3$回投げ，出た目を順に$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$とする．次の問いに答えよ．

(1)　集合$\{a_1,a_2,a_3\}$が集合$\{2,5,6\}$と等しくなる確率を求めよ．

(2)　$a_1<a_2<a_3$である確率を求めよ．

(3)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$がすべて異なる確率を求めよ．

(4)　集合$\{a_1,a_2,a_3\}$と集合$\{2,3\}$が等しいとき，$a_1=3\text{，}$$a_2=2\text{，}$$a_3=3$である条件付き確率を求めよ．

(5)　${\displaystyle \frac{1}{a_1}}+{\displaystyle \frac{1}{a_2}}+{\displaystyle \frac{1}{a_3}}=1$である確率を求めよ．

【２】　$t>0$とする．また，$a\text{，}$$b$を実数とし，二つの関数$f(x)=-x^3-3x^2+4\text{，}$$g(x)=x^2+ax+b$を考える．座標平面上の二つの曲線$C_1\text{：}y=f(x)\text{，}$$C_2\text{：}y=g(x)$は$x$座標が$t$である共有点$\mathrm{P}$をもち，かつ点$\mathrm{P}$において共通の接線をもつとする．次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の極値を求めよ．

(2)　$a\text{，}$$b$をそれぞれ$t$を用いて表せ．

(3)　$t>0$における関数

$F(t)={\displaystyle {\int }_0^1}\{g(x)-f(x)\}\mathit{dx}$

の最小値を求めよ．

【４】　$\theta$を$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす実数とする．$\mathrm{O}(0,0)$を原点とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(\cos \theta ,0)\text{，}$$\mathrm{B}(\cos \theta ,\sin \theta )$に対して，点$\mathrm{C}$および点$\mathrm{D}$を以下の条件により定める．

(ⅰ)　$\mathrm{D}$は線分$\mathrm{OB}$上の点である．

(ⅱ)　$\mathrm{C}$は直線$\mathrm{OB}$に関して$\mathrm{A}$と異なる側にある．

(ⅲ)　$\mathrm{▵OAB}$と$\mathrm{▵CDB}$は合同である．すなわち，$\mathrm{OA}=\mathrm{CD}\text{，}$$\mathrm{AB}=\mathrm{DB}\text{，}$$\mathrm{BO}=\mathrm{BC}$が成り立つ．

次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\theta$を用いて成分表示せよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$を$\theta$を用いて成分表示せよ．

(3)　$\mathrm{C}$の$y$座標を$f(\theta )$とする．$\theta$が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，$f(\theta )$のとり得る値の範囲を求めよ．

(4)　$\mathrm{\angle AOC}={\displaystyle \frac{3}{4}}\pi$となるとき，$\theta$の値を求めよ．