2025　岡山大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　方程式

$3x+11y=1$

の整数解の$1$つを求めよ．

(2)　方程式

$3x+11y=1000$

の整数解をすべて求めよ．

(3)　自然数$x\text{，}$$y$が(2)の方程式を満たすとする．$|x-y|$の最大値と，そのときの$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

【２】　$xyz$空間における$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(n,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,n,0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,0,2n)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．ただし，$n$は$2$以上の整数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　四面体$\mathrm{OABC}$を平面$x=k$で切ったとき，断面として現れる三角形$T_k$のすべての頂点の座標を求めよ．ただし，$k$は整数で$1\leqq k\leqq n-1$とする．

(2)　(1)の三角形$T_k$の内部に含まれ，$y\text{，}$$z$座標がいずれも整数となる点の個数を$n\text{，}$$k$を用いて表せ．ただし，辺および頂点は内部に含まれないとする．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の内部に含まれ，$x\text{，}$$y\text{，}$$z$座標がいずれも整数となる点の個数を$n$を用いて表せ．ただし，面，辺，および頂点は内部に含まれないとする．

【３】　$xy$平面上に点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(4,0)\text{，}$$$円$C\text{：}{x}^2+y^2=4$上を動く点$\mathrm{P}(a,b)$があるとする．各点$\mathrm{P}$に対して，線分$\mathrm{AP}$の垂直二等分線を$l_{\mathrm{P}}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　直線$l_{\mathrm{P}}$の方程式を求めよ．

(2)　直線$\mathrm{OP}$と$l_{\mathrm{P}}$が平行であるとき，$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　直線$\mathrm{OP}$と$l_{\mathrm{P}}$が交点をもつとき，交点$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式を求め，さらにその軌跡を図示せよ．

【４】　右図のように，三角形$\mathrm{ABC}$の外側で頂点または辺上の点からの距離が$1$以内にある，長方形および扇形からなる領域を$Z$とする．さらに，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=3$とし，$\mathrm{\angle ABC}=\theta$とおく．また，$Z$の面積を$S_1$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$S_1$を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径$r(\theta )$を求めよ．

(3)　$0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，(2)の$r(\theta )$の最大値を求めよ．

(4)　(2)の内接円の面積を$S_2$とする．$0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，$S_1>S_2$を示せ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　方程式

$3x+11y=1$

の整数解の$1$つを求めよ．

(2)　方程式

$3x+11y=1000$

の整数解をすべて求めよ．

(3)　$x\text{，}$$y$が(2)の方程式の整数解であるとする．$|x-y|$の最小値と，そのときの$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

【２】　$x\text{，}$$y$を実数とする．$\theta$の関数$f(\theta )=\cos 2\theta$$+x\sin \theta$$-y-1$$\text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$f(\theta )$の最大値を$x\text{，}$$y$を用いて表せ．

(2)　$0\leqq \theta <2\pi$であるすべての$\theta$について不等式$f(\theta )<0$が成り立つような点$(x,y)$全体からなる領域を図示せよ．

【３】　関数

$y={16}^x+{16}^{-x}$$+{(2^{x+1}+2^{-x+1})}^2$$-125(2^{x-1}+2^{-x-1})$

について，以下の問いに答えよ．

(1)　$t=2^x+2^{-x}$とおくとき，関数$t$の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．

(2)　関数$y$を(1)で与えた$t$の式で表せ．

(3)　関数$y$が最小となるときの$x$の値を求めよ．