2025　島根大学　前期MathJax

(1)　$\{a_n\}$の一般項，$\{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．

(2)　和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k=a_1+\cdots +a_n$を求めよ．

(3)　和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k=b_1+\cdots +b_n$を求めよ．

(4)　数列$\{c_n\}$が$c_1=7\text{，}$$c_{n+1}=c_n+a_n+b_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$をみたすとき，数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(1)　試行$\mathrm{S}$を行うとき，袋$\mathrm{A}$の白玉の個数が$0$個になる確率を求めよ．

(2)　試行$\mathrm{S}$を行うとき，袋$\mathrm{A}$の白玉の個数が$1$個になる確率を求めよ．

(3)　試行$\mathrm{S}$を行ったあと袋$\mathrm{A}$から$1$個の玉を取り出すという一連の試行を$\mathrm{T}$とする．試行$\mathrm{T}$を行うとき，白玉が取り出される確率を求めよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}\sqrt{1-x^2}\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{k}{n}}$を求めよ．

(3)　極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt{n^2-1^2}+\sqrt{n^2-2^2}+\cdots +\sqrt{n^2-n^2}}{1+2+\cdots +n}}$

を求めよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}\sqrt{1-x^2}\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt{n^2-1^2}+\sqrt{n^2-2^2}+\cdots +\sqrt{n^2-n^2}}{1+2+\cdots +n}}$

を求めよ．

$F(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a{x}^n+b}{c{x}^{n+1}+d}}$

とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a=3\text{，}$$b=c=2\text{，}$$d=1$とするとき，$x>1$に対して$F(x)$を求めよ．

(2)　$a=3\text{，}$$b=c=2\text{，}$$d=1$とするとき，$x>0$における関数$y=F(x)$のグラフをかけ．

(3)　$y=F(x)$のグラフと直線$y=x$は$x>0$の範囲でちょうど$2$つの共有点をもつとする．このとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$の組み合わせをすべて求めよ．

(1)　試行$\mathrm{S}$を行うとき，袋$\mathrm{A}$の白玉の個数が$0$個になる確率を求めよ．

(2)　試行$\mathrm{S}$を行うとき，袋$\mathrm{A}$の白玉の個数が$1$個になる確率を求めよ．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　直線$l$が点$(-1,-2)$を通るとき，$a$の値を求めよ．

(3)　$x^3-x^2$$-(3a^2-2a)x$$+2a^3-a^2$を$x-a$で割った商と余りを求めよ．

(4)　$b$を$a$と異なる実数とする．直線$l$が点$(b,b^3-b^2)$を通るとき，$a$を$b$を用いて表せ．