2025　鳥取大学　後期工学部MathJax

(1)　$\mathrm{\angle ACB}$の大きさを求めよ．

(2)　四角形$\mathrm{ABCD}$は，円に内接することを示せ．

$f_n(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{x}^{k-1}$$=1+2x$$+3x^2$$+\cdots$$+n{x}^{n-1}$

により定める．以下の問いに答えよ．

(1)　$x\ne 1$のとき，$f_n(x)$を求めよ．

(2)　$\left|x\right|<1$のとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)$を求めよ．ただし，必要ならば次の事実を用いてよい．

$0<a<1$ならば$\underset{n\to \infty }{\lim }n{a}^n=0$

(3)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{n}{{25}^n}}$を求めよ．

$f(x)={\displaystyle \frac{e^{ax}}{e^{ax}+1}}$

と定める．以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$は増加関数であることを示せ．

(2)　極限値$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$および$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(3)　$f^{\prime }(x)=af(x)\{1-f(x)\}$が成り立つことを示せ．

(4)　曲線$y=f(x)$の変曲点を求めよ．

$f(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+1}}{\displaystyle \frac{2t}{t^2+2}}\mathit{dt}$

と定める．以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$を求めよ．

(2)　極限値$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$および$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(3)　関数$f(x)$の最大値および最小値を求めよ．