2025　鳥取大学　前期MathJax

(1)　円$C$の方程式を求めよ．

(2)　点$(6,4)$における円$C$の接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　(2)で求めた接線$l$と原点$\mathrm{O}$との距離を求めよ．

(1)$\text{①}$　$r[3x^2+x-4]$

$\text{②}$　$r[x^3+1]$

$\text{③}$　$r[(3x^2+x-4)(x^3+1)]$

$\text{④}$　$r[r[3x^2+x-4]\times r[x^3+1]]$

をそれぞれ求めよ．

(2)　$x$の整式$A\text{，}$$B$に対して，$r[AB]=r[r[A]\times r[B]]$となることを示せ．

(1)　$t=\sin \theta +\cos \theta$として，$f(\theta )$を$t$を用いて表せ．

(2)　$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$f(\theta )$の最大値および最小値と，そのときの$\theta$の値をそれぞれ求めよ．

$\text{①}$　すべての自然数$n$について$a_n>0$

$\text{②}$　$a_1=2560$

$\text{③}$　$a_1+a_2+a_3=4480$

また，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\log }_2{a}_k$とおく．以下の問いに答えよ．ただし，${\log }_{10}2=0.301$とする．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を$n$を用いて表せ．

(2)　$S_n$が最大となるときの$n$の値を求めよ．

(3)　$\left|S_n\right|$が最小となるときの$n$の値を求めよ．

$x=e^{at}\cos t\text{，}$$y=e^{at}\sin t$

で表されるとき，時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速度を$\overrightarrow{v}=({\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}},{\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}})$で表す．以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}}$および${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}}$を求めよ．

(2)　時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速さ$\left|\overrightarrow{v}\right|$を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とおく．時刻$t$において，$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{v}$のなす角を$\theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$とする．$\cos \theta$を$a$を用いて表し，$\theta$は$t$によらない定数であることを示せ．

(4)　(3)で定めた角$\theta$の値が$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$であるとき，定数$a$を求めよ．

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{16}}{(x+2)}^2{(x-2)}^2$

と定める．$0\leqq t\leqq 1$を満たす実数$t$に対して，直線$y=t$と曲線$y=f(x)$によって囲まれる図形を$y$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積を$V(t)$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　曲線$y=f(x)$と直線$y=t$の交点の$x$座標を$k$とするとき，$k^2$をすべて求めよ．

(2)　$V(t)$を$t$を用いて表せ．

(3}　$V(t)$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．

(1)　法線$n_t$の方程式を$a\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　直線$l_t$の傾きを$a\text{，}$$t$を用いて表せ．

(3)　直線$l_t$は$t$によらないーつの定点を通ることを示せ．

$\text{①}$　すべての自然数$n$について$a_n>0$

$\text{②}$　$a_1=512$

$\text{③}$　$a_1+a_2+a_3=896$

また，数列$\{b_n\}$を$b_n={\log }_2{a}_n$で定め，

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_n$

とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を$n$を用いて表せ．

(2)　数列$\{b_n\}$の一般項を$n$を用いて表せ．

(3)　$S_n$が最大となるときの$n$の値を求めよ．

(3)　$\left|S_n\right|$が最小となるときの$n$の値を求めよ．