2025　和歌山大学　後期工学部MathJax

${\displaystyle \sum _{i=1}^n}{p}_i=1$

を満たすとする．そして，

$m={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{p}_i{x}_i$

とする．さらに，曲線$y=\log x$の$x=m$における接線を$y=ax+b$とする．ただし$\log$は自然対数とする．このとき，以下の設問(1)から(5)に答えなさい．

(1)　$a$と$b$を$m$を使って表しなさい．

(2)　$x>0$に対して$\log x\leqq ax+b$が成り立つことを証明しなさい．

(3)　${\displaystyle \sum _{i=1}^n}{p}_i\log x_i\leqq \log m$が成り立つことを証明しなさい．

(4)　${(x_1{x}_2\cdots x_n)}^{\frac{1}{n}}$$\leqq {\displaystyle \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}}$が成り立つことを証明しなさい．

(5)　$n$個の正の実数$q_1\text{，}$$q_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$q_n$が${\displaystyle \sum _{i=1}^n}{q}_i\leqq 1$を満たすとする．このとき${\displaystyle \sum _{i=1}^n}{p}_i\log {\displaystyle \frac{q_i}{p_i}}\leqq 0$が成り立つことを証明しなさい．