2025　奈良女子大学　後期MathJax

$a_1=5\text{，}$$a^{n+1}={a_n}^p$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

数列$\{a_n\}$を用いて，数列$\{b_n\}$を次で定める．

$b_1=\sqrt{5}\text{，}$$b_{n+1}=a_n{b}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

以下の問いに答えよ．

(1)　一般項$a_n$を求めよ．

(2)　一般項$b_n$を求めよ．

(3)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

$f(x)=x^2-2ax+1\text{，}$$g(x)=x^2-2bx+1$

とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b$が次の条件(＊)を満たすとき，点$(a,b)$全体の集合を$ab$平面上に図示せよ．

(＊)　$f(x)=0$の解$\alpha$と$g(x)=0$の解$\beta$で，積$\alpha \beta$の実部が$0$となるものがある．

(2)　$2$つの放物線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$の頂点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．$a\text{，}$$b$が(1)の条件(＊)を満たすとき，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の距離$\mathrm{PQ}$の最大値を求めよ．

(1)　$k$を$0$以上の整数とするとき，$x+y=k$を満たす$0$以上の整数$x\text{，}$$y$の組$(x,y)$の個数を求めよ．

(2)　$k$を$2$以上の整数とするとき，$x+y=k$を満たす正の整数$x\text{，}$$y$の組$(x,y)$の個数を求めよ．

(3)　$3$以上の整数とするとき，

$x+y+z=n$

を満たす$0$以上の整数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の組$(x,y,z)$の個数を$A(n)$とし，

$x+y+z=n$

を満たす正の整数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の組$(x,y,z)$の個数を$B(n)$とする．

(ⅰ)　$A(n)\text{，}$$B(n)$をそれぞれ求めよ．

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{B(n)}{A(n)}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}$となる$n$をすべて求めよ．