2025　奈良女子大学　前期MathJax

$\mathrm{OD}=\mathrm{OE}=3\text{，}$$\mathrm{OF}=2$

を満たすようにとる．三角形$\mathrm{DEF}$の重心を$\mathrm{G}$とする．実数$s\text{，}$$t$に対し，点$\mathrm{H}$を

$\overrightarrow{\mathrm{CH}}=s\overrightarrow{\mathrm{CA}}+t\overrightarrow{\mathrm{CB}}$

で定める．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{GH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$となるための$s\text{，}$$t$の条件を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{GH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$かつ$\overrightarrow{\mathrm{GH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}$が成り立つとき，$\overrightarrow{\mathrm{GH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表し，四面体$\mathrm{GABC}$の体積$V$を求めよ．

(1)　関数$y=f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$の増減，極値およびグラフの凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．

(2)　関数$g(x)=f(x)-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$の最大値と最小値を求めよ．

(3)　不等式$1+\pi (\log 3-{\displaystyle \frac{1}{2}})$$\leqq {\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(x)\mathit{dx}$$\leqq 1+\pi \log 2$を示せ．

(1)　$m$を$1$以上の奇数とし，$n=2m$とおく．以下の(ⅰ)，(ⅱ)に答えよ．

(ⅰ)　正の整数$p\text{，}$$q$が$np=q^2$を満たすとき，$p$と$q$はともに偶数であることを示せ．

(ⅱ)　$\sqrt{n}$は有理数ではないことを示せ．

(2)　$k$を$1$以上の奇数とする．$2$次方程式$x^2$$-6kx$$+5k^2$$-6k=0$は，有理数ではない実数解をもつことを示せ．

(1)　点$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{R}$の座標を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(2)　$a\text{，}$$b$が$\left|a\right|\leqq 2$かつ$\left|b\right|\leqq 2$を満たすとき，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{R}$の距離$\mathrm{PR}$の最大値と最小値を求めよ．

(1)　関数$y=f(x)$の極値を求め，グラフをかけ．

(2)　区間$-1\leqq x\leqq 1$における関数$f(x)$の最大値$M$と最小値$m$を求めよ．

(ⅰ)　$a\text{，}$$x\text{，}$$b$がこの順に等比数列をなす．

(ⅱ)　$a\text{，}$$y\text{，}$$b$がこの順に等差数列をなす．

以下の問いに答えよ．

(1)　$ab>0$であることを示し，$x\text{，}$$y$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(2)　不等式$\left|x\right|\leqq \left|y\right|$を示せ．

(3)　$xy>0$のとき，不等式$|y-x|\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}|b-a|$を示せ．