2025　神戸大学　後期MathJax

$f(x)=\sin (x+\theta )\cos x+1$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

について，以下の問に答えよ．

(1)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$とする．$x={\displaystyle \frac{\pi }{24}}$のときの$f(x)$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$の最大値を$g(\theta )$とする．定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}\theta g(\theta )\mathit{d\theta }$を求めよ．

$f(x)=a^2{x}^2-2a(a-1)x+2$

と定める．以下の問に答えよ．

(1)　$a=2$とする．$n$を整数とするとき，$f(n)$の最小値とそのときの整数$n$をすべて求めよ．

(2)　$a>0$とする．$n$を整数とするとき，$f(n)$の最小値とそのときの整数$n$をすべて求めよ．

(3)　$a<0$とする．$n$を整数とするとき，$f(n)$の最小値とそのときの整数$n$をすべて求めよ．

(1)　$S_1$と$S_2$をそれぞれ$\theta$を用いて表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

(1)　$x_{n+1}\text{，}$$y_{n+1}\text{，}$$z_{n+1}$をそれぞれ$x_n\text{，}$$y_n$を用いて表せ．

(2)　$x_{n+3}$を$x$を用いて表せ．

(3)　数列$\{b_n\}$を$b_n=x_{3n}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$により定める．数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

$a{x}^2\leqq 1-\cos x\leqq b{x}^2$

が成り立つような$a$の最大値と$b$の最小値を求めよ．