2025　神戸大学　前期MathJax

$f(x)=|x^3-x|\text{，}$$g(x)=k(x+1)$

とおき，曲線$y=f(x)$を$C\text{，}$直線$y=g(x)$を$l$とする．以下の問に答えよ．

(1)　曲線$C$の概形をかけ．ただし，関数$f(x)$の極大値を調べる必要はない．

(2)　曲線$C$と直線$l$がちょうど$4$つの共有点をもつような$k$の値を求めよ．

(1)　$0<a_n<1$が成り立つことを示せ．

(2)　$b_n$を$(3n-{\displaystyle \frac{1}{a_n}})$の小数部分とする．$b_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　$b_n$を(2)で定めたものとする．$m\text{，}$$n$を異なる$2$つの自然数とするとき，$a_m+b_n\ne 1$であることを示せ．

$x=\sin \theta \text{，}$$y=\cos \theta +|\sin \theta |$$\text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$

で表される曲線を$C$とする．以下の問に答えよ．

(1)　曲線$C$の概形をかけ．

(2)　曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$\mathrm{A}(-4,-1,0)\text{，}$$\mathrm{B}(-3,0,-1)\text{，}$$\mathrm{P}(s,t,-2s+t-1)$

がある．以下の問に答えよ．

(1)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{P}$は一直線上にないことを示せ．

(2)　点$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を$s$を用いて表せ．

(3)　$s\text{，}$$t$が変化するとき，三角形$\mathrm{ABP}$の面積の最小値を求めよ．

(1)　$t>1$とする．開区間$(1,t)$で常に$f(x)-x{f}^{\prime }(x)=0$が成り立つならば，閉区間$[1,t]$で${\displaystyle \frac{f(x)}{x}}$は定数であることを示せ．

(2)　$t\geqq 1$を満たす任意の$t$に対して，$g(t)=h(t)+2$が成り立つとする．このとき，$f(1)$の値を求めよ．また，$t\geqq 1$のとき$f(t)$を$t$を用いて表せ．

(1)　方程式$f(x)=0$は$x=-1$を解にもつとする．このとき，$a$の値を求め，方程式$f(x)=0$の解をすべて求めよ．

(2)　$a$の値を(1)で求めたものとする．関数$f(x)$の極値を求めよ．

(3)　方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

(1)　$a_n<n+1$が成り立つことを示せ．

(2)　$b_n$を$a_n$の小数部分とする．$b_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　$b_n$を(2)で定めたものとする．$m\text{，}$$n$を異なる$2$つの自然数とするとき，$b_m\ne b_n$であることを示せ．

$\mathrm{A}(\cos {\displaystyle \frac{a}{6}}\pi ,\sin {\displaystyle \frac{a}{6}}\pi )\text{，}$$\mathrm{B}(\cos {\displaystyle \frac{b+6}{6}}\pi ,\sin {\displaystyle \frac{b+6}{6}}\pi )$

とし，原点を$\mathrm{O}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が一直線上にある確率を求めよ．

(2)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が一直線上になく，かつ三角形$\mathrm{OAB}$の面積が${\displaystyle \frac{1}{4}}$以下である確率を求めよ．

(3)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$間の距離が$1$より大きい確率を求めよ．