2025　大阪教育大学　前期MathJax

【１】　$1$以上の整数$n$に対して，実数$a_n\text{，}$$b_n$は，$x^n$を$x^2-x-1$で割った余りが$a_{n}x+b_n$となるものとする．次の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}$$b_1\text{，}$$a_2\text{，}$$b_2\text{，}$$a_3\text{，}$$b_3\text{，}$$a_4\text{，}$$b_4$を，それぞれ求めよ．

(2)　実数$a\text{，}$$b$に対して，$a{x}^2+bx$を$x^2-x-1$で割った余りを求めよ．

(3)　$a_{n+1}\text{，}$$b_{n+1}$を，それぞれ$a_n\text{，}$$b_n$を用いて表せ．

(4)　$a_{n+2}$を，$a_{n+1}\text{，}$$a_n$を用いて表せ．

(5)　$x^2-x-1=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．$a_n$を，$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$n$を用いて表せ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$x>1$のとき，$\sqrt{x}>\log x$であることを証明せよ．

(2)　${\displaystyle \int }{x}^2{(\log x)}^2\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\frac{1}{n}}^1}{x}^2{(\log x)}^2\mathit{dx}$を求めよ．

【３】　角${\theta }_1\text{，}$${\theta }_2$に対して，複素数$z_1=\cos {\theta }_1$$+i\sin {\theta }_1\text{，}$$z_2=\cos {\theta }_2$$+i\sin {\theta }_2\text{，}$$z=\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)$$+i\sin ({\theta }_1-{\theta }_2)$を考える．また，$\alpha =a+bi\text{，}$$\beta =c+di$は$0$でない複素数とする．ただし，$i$は虚数単位，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$は実数とする．次の問いに答えよ．

(1)(ⅰ)　複素数平面上の$4$点$\mathrm{A}(z_1)\text{，}$$\mathrm{B}(z_2)\text{，}$$\mathrm{C}(z)\text{，}$$\mathrm{D}(1)$について${\mathrm{AB}}^2$と${\mathrm{CD}}^2$を求めよ．

(ⅱ)　次の加法定理が成り立つことを証明せよ．

$\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)$$=\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2$$+\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2$

$\sin ({\theta }_1-{\theta }_2)$$=\sin {\theta }_1\cos {\theta }_2$$-\cos {\theta }_1\sin {\theta }_2$

(2)　$2\pi$の整数倍の違いを無視するとき，複素数の偏角に関する公式

$\arg {\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}=\arg \alpha -\arg \beta$

が成り立つことを証明せよ．

(3)　点$\alpha$は次の条件を満たすとする．

$|\alpha +2|-|\alpha -2|$$=2\sqrt{2}$

(ⅰ)　条件を満たす点$\alpha$全体の集合はどのような図形を描くか．複素数平面上に図示せよ．

(ⅱ)　点$\beta$が

$\arg {\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{，}$$\left|\beta \right|=\sqrt{2}\left|\alpha \right|$

を満たすとき，$cd$の値が一定であることを示せ．