2025　大阪大学　前期MathJax

【１】　平面上の三角形$\mathrm{OAB}$を考える．$\mathrm{\angle AOB}$は鋭角，$\mathrm{OA}=3\text{，}$$\mathrm{OB}=t$とする．また，点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{C}$とし，$\mathrm{OC}=1$とする．線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OP}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$t$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{OR}$の長さを$t$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．点$\mathrm{R}$が線分$\mathrm{MB}$上にあるとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

【２】　$p$と$m$を実数とし，関数$f(x)=x^3+3p{x}^2+3mx$は$x=\alpha$で極大値をとり，$x=\beta$で極小値をとるとする．

(1)　$f(\alpha )-f(\beta )$を$p$と$m$を用いて表せ．

(2)　$p$と$m$が$f(\alpha )-f(\beta )=4$を満たしながら動くとき，曲線$y=f(x)$の変曲点の軌跡を求めよ．

【３】　座標空間に$3$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(0,1,1)\text{，}$$\mathrm{P}(x,y,0)$がある．$\mathrm{\angle OAP}=30\mathrm{°}$かつ$y\geqq 0$を満たすように点$\mathrm{P}$が動くとき，$(x+1)(y+1)$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$t>0$のとき

$-{\displaystyle \frac{1}{t}}<{\displaystyle {\int }_t^{2t}}{\displaystyle \frac{\sin x}{x^2}}\mathit{dx}<{\displaystyle \frac{1}{t}}$

が成り立つことを示せ．

(2)　$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_t^{2t}}{\displaystyle \frac{\cos x}{x}}\mathit{dx}=0$を示せ．

(3)　$f(x)=\sin \left({\displaystyle \frac{3x}{2}}\right)\sin \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)$とおく．

$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_1^t}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}\mathit{dx}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_1^2}{\displaystyle \frac{\cos x}{x}}\mathit{dx}$

を示せ．

【５】　投げたときに表と裏の出る確率がそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$のコインがある．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$文字を$\mathrm{BAC}$のように$1$個ずつすべて並べて得られる文字列に対して，コインを投げて次の操作を行う．

・表が出たら文字列の左から$1$文字目と$2$文字目を入れかえる．

・裏が出たら文字列の左から$2$文字目と$3$文字目を入れかえる．

例えば，文字列が$\mathrm{BAC}$であるときに，$2$回続けてコインを投げて表，裏の順に出たとすると，文字列は$\mathrm{BAC}$から$\mathrm{ABC}$を経て$\mathrm{ACB}$となる．

　最初の文字列は$\mathrm{ABC}$であるとする．コインを$n$回続けて投げたあとの文字列が$\mathrm{ABC}$である確率を$p_n$とし，$\mathrm{BCA}$である確率を$q_n$とする．

(1)　$k$を正の整数とするとき，$p_{2k}-q_{2k}$を求めよ．

(2)　$n$を正の整数とするとき，$p_n$を求めよ．

【２】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{2n-1}{2n}}{a}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　正の整数$k\text{，}$$l$に対して

${\displaystyle \frac{k}{k+l-1}}{a}_{k+1}{a}_l+{\displaystyle \frac{l}{k+l-1}}{a}_k{a}_{l+1}=a_k{a}_l$

が成り立つことを示せ．

(2)　正の整数$m$に対して

${\displaystyle \sum _{k=1}^m}{a}_k{a}_{m-k+1}=1$

が成り立つことを示せ．

【３】　座標平面において，$y=x^2-1$で表される放物線を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$l$とする．ただし，点$\mathrm{P}$は$y$軸上にはないものとする．$\mathrm{O}$を原点とし，放物線$C$と線分$\mathrm{OP}$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S\text{，}$放物線$C$と接線$l$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$T$とする．$S-T$の最大値を求めよ．