2025　京都工芸繊維大学　前期MathJax

【１】　$a$は$0<a<1$を満たす実数とする．$x$の関数

$f(x)=e^{-3x}$$-(1+2a)e^{-2x}$$+(2a+a^2)e^{-x}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$

を考える．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$$\text{（}x>0\text{）}$を求めよ．また，方程式$f^{\prime }(x)=0$の解を$x>0$の範囲ですべて求めよ．

(2)　$f(x)$の最大値を求めよ．また，$f(x)$が最小値をもたないような$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　$f(x)$の最大値を与える$x$のうち，最小のものを$x_1$で表し，最大のものを$x_2$で表す．$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，定積分${\displaystyle {\int }_{x_1}^{x_2}}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

【２】　自然数$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対し，$xy$平面内に点${\mathrm{A}}_n$と点${\mathrm{B}}_n$がある．${\mathrm{B}}_n$は$x$軸上にあり，${\mathrm{B}}_n$の$x$座標は$n$である．${\mathrm{A}}_n$の$y$座標は正であり，線分${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n$は$x$軸と垂直である．四角形${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{B}}_{n+1}{\mathrm{A}}_{n+1}$の面積は，三角形${\mathrm{B}}_{n+1}{\mathrm{B}}_{n+2}{\mathrm{A}}_{n+2}$の面積の$2$倍である．${\mathrm{A}}_n$の$y$座標を$a_n$とする．$p$と$q$を正の実数とし，$a_1=p\text{，}$$a_2=q$であるとする．

(1)　数列$\{b_n\}$を，$b_n=a_{n+1}-a_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{)}$により定める．$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{c_n\}$を，$c_n={(-2)}^n{a}_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$により定める．$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．また，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【３】　$i$は虚数単位とする．

(1)　実数$A$と正の実数$R$に対して，$R(\cos A+i\sin A)=w^2$を満たす複素数$w$をすべて求めよ．

(2)　$z$は$0$でない複素数とし，$z$の絶対値と偏角はそれぞれ$r$と$\theta$であるとする．ただし，$0\leqq \theta <2\pi$であるとする．$z$が複素数平面を方程式$|z+1-\sqrt{3}i|=2$を満たしながら動く．このとき，$r$を$\theta$の関数として表し，$\theta$のとり得る値の範囲を求めよ．また，$\theta$軸と$r$軸を座標軸とする座標平面において，この関数のグラフと$\theta$軸とで囲まれる部分を$D$とする．$D$を$\theta$軸のまわりに一回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【４】　$n$は$3$以上の整数とする．サイコロを$n$回投げて，出た目を順に$A_1\text{，}$$A_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$A_n$で表す．$A_1$と$A_2$のうち，最大の値を$X$で表す．さらに，$A_2\text{，}$$A_3\text{，}$$\cdots \text{，}$$A_n$のうち，最大の値と最小の値をそれぞれ$Y$と$Z$で表す．

(1)　$X=6$かつ$Y=6$となる確率$p_1$を求めよ．

(2)　$X=6$かつ$Z=1$となる確率$p_2$を求めよ．

(3)　$X=6$かつ$Y=6$かつ$Z=1$となる確率$p_3$を求めよ．