2025　京都教育大学　前期MathJax

【１】　$\mathrm{A}$チーム$4$人と$\mathrm{B}$チーム$4$人について，次のような並び方の総数を求めよ．

(1)　横一列に並び，$\mathrm{B}$チームのちょうど$3$人が隣り合う．

(2)　円形に並び，$\mathrm{A}$チームのメンバーは隣り合わない．

【２】　$r$は定数で，$r\ne 0\text{，}$$r\ne 1$とする．数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$が

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=r{a}_n$

$b_1=1\text{，}$$b_{n+1}=r{b}_n+a_n$

を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$b_2\text{，}$$b_3\text{，}$$b_4$の値を求めよ．また，$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}(b_k-a_k)$とおく．$S_n-r{S}_n$を求めよ．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$を求めよ．

【３】　$\mathrm{▵ABC}$が$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{BC}=1\text{，}$$\mathrm{CA}=\sqrt{3}$を満たすとする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{\angle BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{BE}$の長さを求めよ．

(2)　直線$\mathrm{AE}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{CP}$の長さを求めよ．

(3)　直線$\mathrm{BP}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\mathrm{▵APF}$の面積を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$a^3+3a^{2}b$$+3a{b}^2$$+b^3+c^3$を因数分解せよ．

(2)　$a^3+b^3+c^3-3abc$を因数分解せよ．

(3)　$x\text{，}$$y\text{，}$$z$が正の実数であるとき，不等式$x+y+z\geqq 3\sqrt[3]{xyz}$を証明せよ．

【５A】　放物線$y=1-x^2$上の点$\mathrm{P}(s,1-s^2)$における接線を$l\text{，}$点$\mathrm{Q}(t,1-t^2)$における接線を$m$とおく．ただし，$-1\leqq s<t$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$l$と$m$の方程式をそれぞれ求めよ．

(2)　$l$と$m$の交点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(3)　$\mathrm{▵PQR}$の面積$S$を$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(4)　$l$と$m$が直交するように$s$と$t$の値が動くとき，$S$の最小値およびそのときの$s$と$t$の値をそれぞれ求めよ．

【５B】　関数$u(x)={\displaystyle \frac{2}{1+e^{-2x}}}$と$f(x)=x$$-2$$-2\log {\displaystyle \frac{x}{2}}$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$x>0$に対して，不等式$f(x)\geqq 0$が成り立つことを証明せよ．

(2)　$g(x)=f(u(x))$とおく．関数$u(x)$と$g(x)$の導関数をそれぞれ求めよ．

(3)　数列$\{I_n\}$を$I_n={\displaystyle {\int }_0^n}{\left({\displaystyle \frac{2e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}\right)}^2\mathit{dx}$と定める．このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$を求めよ．