2025　京都大学　特色入試理学部MathJax

【１】　$n$を自然数とする．実数$x$に対し，$x$を超えない最大の整数を$\left[x\right]$とし，$f(x)=x-\left[x\right]$と定める．このとき，$1$よりも大きく，かつ整数でないような実数$x$のうちで，

$\underset{n\to \infty }{\lim }f\left({\displaystyle \frac{1}{nf(\sqrt[n]{x})}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$

を満たすものをすべて求めよ．

【２】　$n$を$5$以上の自然数とする．$\mathrm{K}\text{，}$$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{T}\text{，}$$\mathrm{Y}$が$1$文字ずつ書かれた$4$枚のカード

$\mathrm{K}\text{，}$$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{T}\text{，}$$\mathrm{Y}$

を用意する．この$4$枚のカードから$1$枚を引き，書かれた文字を記録し，戻すという操作を$n$回繰り返し，記録された順に文字を左から並べる．

　このとき，並んだ$n$個の文字の中に，連続した文字列$\text{「}\mathrm{KYOTO}\text{」}$が現れる確率$p_n$が

$p_n\geqq 1-{\left({\displaystyle \frac{1023}{1024}}\right)}^{n-4}$

を満たすことを示せ．

　ただし，上の操作においては，それぞれのカードを毎回独立に，等しい確率で引くものとする．

【３】　座標平面における領域

$A=\{(x,y)|y\geqq e^x\}$

で定まる図形$A$を考える．$A$に対して，原点を中心とする回転や平行移動を，何回か行って得られる図形を$n$個用意し，それぞれ$A_1\text{，}$$A_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$A_n$とする．

　このとき，$A_1\text{，}$$A_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$A_n$により座標平面全体を覆うことのできる$n$の最小値を求めよ．

【４】　自然数$n$に対して，関数$f_n(x)$を次で帰納的に定める．

$f_1(x)=\sin (x)$

$f_n(x)=\sin (f_{n-1}(x))$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

また，$L$を正の実数とし，

$f_n(a)-{\displaystyle \frac{a}{L}}=0$

を満たす実数$a$の個数を$A_{L,n}$とする．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)　$L\leqq 1$のとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_{L,n}$の値を求めよ．

(2)　$L>1$のとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_{L,n}$の値を求めよ．

　ただし，$0$以上の実数からなる数列$\{a_n\}$が，任意の$n$に対して$a_{n+1}\leqq a_n$を満たすとき，数列$\{a_n\}$が収束することを用いてもよい．