2025　京都大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

問１　$i$は虚数単位とする．複素数$z$が，絶対値が$2$である複素数全体を動くとき，$|z-{\displaystyle \frac{i}{z}}|$の最大値と最小値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

問２　次の定積分の値を求めよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{3}}}{\displaystyle \frac{x\sqrt{x^2+1}+2x^3+1}{x^2+1}}\mathit{dx}$(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}\sqrt{{\displaystyle \frac{1-\cos x}{1+\cos x}}}\mathit{dx}$

【２】　正の整数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$を用いて

$N=9z^2=x^6+y^4$

と表される正の整数$N$の最小値を求めよ．

【３】　$e$は自然対数の底とする．$x>{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}}$において定義された次の関数$f(x)\text{，}$$g(x)$を考える．

$f(x)=x^2\log x$

$g(x)=x^2\log x-{\displaystyle \frac{1}{1+2\log x}}$

実数$t$は$t>{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}}$を満たすとする．曲線$y=f(x)$上の点$(t,f(t))$における接線に垂直で，点$(t,g(t))$を通る直線を$l_t$とする．直線$l_t$が$x$軸と交わる点の$x$座標を$p(t)$とする．$t$が${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}}<t\leqq e$の範囲を動くとき，$p(t)$の取りうる値の範囲を求めよ．

【４】　座標空間の$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$は同一平面上にないとする．$s\text{，}$$t\text{，}$$u$は$0$でない実数とする．直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{L}\text{，}$直線$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{M}\text{，}$直線$\mathrm{OC}$上の点$\mathrm{N}$を

$\overrightarrow{\mathrm{OL}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=t\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=u\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

が成り立つようにとる．

(1)　$s\text{，}$$t\text{，}$$u$が${\displaystyle \frac{1}{s}}+{\displaystyle \frac{2}{t}}+{\displaystyle \frac{3}{u}}=4$を満たす範囲であらゆる値をとるとき，$3$点$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$の定める平面$\mathrm{LMN}$は，$s\text{，}$$t\text{，}$$u$の値に無関係な一定の点$\mathrm{P}$を通ることを示せ．さらに，そのような点$\mathrm{P}$はただ一つに定まることを示せ．

(2)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を$V$とする．(1)における点$\mathrm{P}$について，四面体$\mathrm{PABC}$の体積を$V$を用いて表せ．

【５】　$\theta$は実数とする．$xyz$空間の$2$点$\mathrm{A}(0,0,{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}})\text{，}$$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta ,{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos \theta )$を通る直線$\mathrm{AP}$が$xy$平面と交わるとき，その交点を$\mathrm{Q}$とする．$\theta$が$-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$の範囲を動くときの点$\mathrm{Q}$の軌跡を求め，その軌跡を$xy$平面上に図示せよ．

【６】　$n$は$2$以上の整数とする．$1$枚の硬貨を続けて$n$回投げる．このとき，$k$回目$\text{（}1\leqq k\leqq n\text{）}$に表が出たら$X_k=1\text{，}$裏が出たら$X_k=0$として，$X_1\text{，}$$X_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$X_n$を定める．

$Y_n={\displaystyle \sum _{k=2}^n}{X}_{k-1}{X}_k$

とするとき，$Y_n$が奇数である確率$p_n$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

問１　$x\text{，}$$y\text{，}$$z$は実数で

${2025}^x=3^y=5^z$

を満たすとする．このとき$2xy+4xz-yz=0$であることを示せ．

【１】　次の各問に答えよ．

問２　$n^4+6n^2+23$が$n^2+n+3$で割り切れるような正の整数$n$をすべて求めよ．

【２】　実数$a\text{，}$$b$についての次の条件(＊)を考える．

(＊)　ある実数係数の$2$次式$f(x)$と，ある実数$c$に対して，$x$についての恒等式

${\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^4+a{x}^3+b{x}^2$$=f(f(x))+c$

が成り立つ．

この条件(＊)を満たす点$(a,b)$全体の集合を座標平面上に図示せよ．

【３】　$n$は正の整数とする．$1$枚の硬貨を投げ，表が出たら$1\text{，}$裏が出たら$2$と記録する．この試行を$n$回繰り返し，記録された順に数字を左から並べて$n$桁の数$X$を作る．ただし，数の表し方は十進法とする．このとき，$X$が$6$で割り切れる確率を求めよ．

【４】　座標平面において，曲線$C_1\text{：}y=x^2-2\left|x\right|\text{，}$曲線$C_2\text{：}y=x^2-5x+{\displaystyle \frac{7}{4}}\text{，}$直線$l_1\text{：}x={\displaystyle \frac{3}{2}}$を考える．

(1)　点$(0,0)$と異なる点で$C_1$と接し，さらに$C_2$とも接するような直線$l_2$がただ一つ存在することを示せ．

(2)　$C_1$と$l_2$の共有点を$\mathrm{P}$とし，その$x$座標を$\alpha$とする．また，$l_1$と$l_2$の共有点を$\mathrm{Q}$とし，$C_1$と$l_1$の共有点を$\mathrm{R}$とする．曲線$C_1$の$\alpha \leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}$の部分，線分$\mathrm{PQ}\text{，}$および線分$\mathrm{QR}$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【５】　座標空間の$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$は同一平面上にないとする．$s\text{，}$$t\text{，}$$u$は$0$でない実数とする．直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{L}\text{，}$直線$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{M}\text{，}$直線$\mathrm{OC}$上の点$\mathrm{N}$を

$\overrightarrow{\mathrm{OL}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=t\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=u\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

が成り立つようにとる．$s\text{，}$$t\text{，}$$u$が${\displaystyle \frac{1}{s}}+{\displaystyle \frac{2}{t}}+{\displaystyle \frac{3}{u}}=4$を満たす範囲であらゆる値をとるとき，$3$点$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$の定める平面$\mathrm{LMN}$は，$s\text{，}$$t\text{，}$$u$の値に無関係な一定の点を通ることを示せ．