2025　滋賀医科大学　前期MathJax

【１】　袋に赤玉と白玉あわせて$20$個の玉が入っている．赤玉の個数を$n$とする．

(1)　袋から玉を$1$個取り出し，その玉をもとに戻す．この試行を$3$回続けて行うとき，ちょうど$2$回赤玉が出る確率を$P_n$とする．$P_n$を最大にする$n$を求めよ．

(2)　袋から玉を$1$個取り出し，その玉をもとに戻さない．この試行を$3$回続けて行うとき，ちょうど$2$回赤玉が出る確率を$Q_n$とする．$Q_n$を最大にする$n$を求めよ．

(3)　袋から玉を$1$個取り出し，その玉をもとに戻した上で，新たに白玉を$1$個袋に入れる．この試行を$3$回続けて行うとき，ちょうど$2$回赤玉が出る確率を$R_n$とする．$R_n$を最大にする$n$を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に点$\mathrm{A}(1,0)$をとる．第$1$象限に点$\mathrm{B}$を，$x$座標が$1\text{，}$$\mathrm{OB}=2$となるようにとる．線分$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$があり，$\mathrm{\angle AOP}=\theta$とする．ただし$0\leqq \theta \leqq \pi$である．直線$\mathrm{OP}$上に点$\mathrm{Q}$を，$x$座標が$1$以下，$\mathrm{PQ}=2$となるようにとる．$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$上を動くとき，$\mathrm{Q}$の軌跡を$L$とする．

(1)　線分$\mathrm{OP}$の長さを$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(3)　$L$上で，$y$座標が最小となる点の座標を求めよ．

(4)　$L$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　$a$を$0$でない実数，$b$を実数とする．$xy$平面上で，曲線

$C\text{：}y=a{x}^3+bx$

を考える．

(1)　$C$の接線のうち，原点を通るものは何本あるか．

(2)　ある$2$本の$C$の接線が垂直になるような$(a,b)$の範囲を$ab$平面上に図示せよ．

(3)　ある$3$本の$C$の接線が正三角形を囲むような$(a,b)$の範囲を$ab$平面上に図示せよ．ただし，$3$本の直線が正三角形を囲むとは，それらがある正三角形の各辺を延長してできる$3$直線になっていることである．

【４】　係数がすべて実数である多項式を実多項式，係数がすべて整数である多項式を整多項式と呼ぶ．ただし，単項式も多項式と考える．

$f(x)=x^4+x^2+1\text{，}$$g(x)=x^4-x^2+1$

とおく．

(1)　$h(x)$を実多項式とする．複素数$\alpha$が方程式$h(x)=0$の解ならば，$\alpha$の共役複素数$\bar{\alpha }$もこの方程式の解であることを示せ．

(2)　方程式$f(x)=0$の解，方程式$g(x)=0$の解をそれぞれ複素数の範囲で求め，複素数平面上に図示せよ．

(3)　$f(x)\text{，}$$g(x)$をそれぞれ$1$次以上$3$次以下の実多項式の積の形に表せ．

(4)　$g(x)$は$1$次以上$3$次以下の整多項式の積の形に表せるか．