2025　滋賀大学　前期MathJax

【１】　$n$を自然数として，$S_n$を

$S_n=1\cdot 3\cdot 5+3\cdot 5\cdot 7$$+\cdots$$+(2n-1)(2n+1)(2n+3)$

と定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　すべての$n$に対して，$S_n$は$3$の倍数であることを証明せよ．

(2)　数学的帰納法を用いて，$S_n=n(n+2)(2n^2+4n-1)$であることを証明せよ．

(3)　命題$\text{「}{S}_n$が偶数ならば$S_n$は$24$の倍数である」の真偽を調べ，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．

【２】　次の問いに答えよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

(1)　${\log }_{10}5$の値を求めよ．

(2)　$9^{30}$の桁数と最高位の数字を求めよ．

(3)　${(10-x)}^{10}$の展開式における$x^7$の項の係数を求めよ．

(4)　$9^{30}$の下位$3$桁を求めよ．

【３】　正多面体の各面を，隣り合う面$\text{（}1$つの辺を共有する$2$つの面）が同じ色にならないように塗り分ける．ただし，正多面体を回転させて一致する塗り分け方は同じ塗り分け方とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　異なる$3$色すべてを使った立方体の塗り分け方は何通りあるか．

(2)　異なる$4$色すべてを使った立方体の塗り分け方は何通りあるか．

(3)　異なる$6$色すべてを使った立方体の塗り分け方は何通りあるか．

(4)　異なる$8$色すべてを使った正八面体の塗り分け方は何通りあるか．

【４】　ある科目では筆記試験と実技試験を行い，「筆記試験の得点」と「実技試験の得点の$2$倍」の和を総合得点としている．筆記試験の得点，実技試験の得点，総合得点をそれぞれ$X\text{，}$$Y\text{，}$$Z$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　受験者の中のある$10$人の筆記試験の得点データ，

$6\text{，}$$7\text{，}$$8\text{，}$$6\text{，}$$3\text{，}$$18\text{，}$$10\text{，}$$12\text{，}$$18\text{，}$$2$

について，平均値，分散，標準偏差を求めよ．

(2)　確率変数$X$と$Y$は独立であり，$X$の平均は$11\text{，}$分散は$16\text{，}$$Y$の平均は$35\text{，}$分散は$60$とする．このとき，確率変数$Z$の平均，分散，標準偏差を求めよ．

(3)　確率変数$Z$は(2)で求まる平均と標準偏差の正規分布に従うとする．無作為に抽出した受験者$100$人の総合得点の標本平均を$\bar{Z}$とするとき，確率$P(77\leqq \bar{Z}\leqq 85\text{)}$を求めよ．なお，付表の正規分布表を利用してよい．

【５】　$3$次関数$y=f(x)$は$x^3$の項の係数が$1$で，$x=\alpha$で極大，$x=\beta$で極小となり，そのグラフ$C$は原点$(0,0)$を通る．$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$をそれぞれ$\mathrm{P}(\alpha ,f(\alpha ))\text{，}$$\mathrm{Q}(\beta ,f(\beta ))\text{，}$$\mathrm{R}(\alpha ,f(\beta ))$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を$\alpha$と$\beta$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{▵PQR}$の面積$S_1$を$\alpha$と$\beta$を用いて表せ．

(3)　$C$と$2$つの線分$\mathrm{PR}\text{，}$$\mathrm{RQ}$で囲まれた部分の面積$S_2$は$S_1$に等しいことを示せ．

【６】　定数$n$を正の整数として，$x$の$n$次式で表される関数

$f(x)=a_n{x}^n$$+a_{n-1}{x}^{n-1}$$+\cdots$$+a_{1}x+b$

が次の$3$つの条件，

(a)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x^3}}=4\text{，}$

(b)　$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{\sin x}}=-3\text{，}$

(c)　$\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)-f(1)}{x-1}}=9$

を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$n$と$a_n$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{6}}}f(\cos \theta )\mathit{d\theta }$を求めよ．