2025　三重大学　推薦工学部総合工学科MathJax

【１】　以下の問に答えなさい．

(1)　次の関数を微分しなさい．

①　$y=\sqrt[3]{x^2+1}$

【１】　以下の問に答えなさい．

(1)　次の関数を微分しなさい．

②　$y={\log }_e\left|{\displaystyle \frac{x-1}{x+1}}\right|$

【１】　以下の問に答えなさい．

(2)　次の不定積分を求めなさい．

${\displaystyle \int }x\sqrt{1+x}\mathit{dx}$

【１】　以下の問に答えなさい．

(3)　次の定積分を求めなさい．

${\displaystyle {\int }_0^1}{x}^3{e}^{-x}\mathit{dx}$

【１】　以下の問に答えなさい．

(4)　次の無限級数は収束することを示し，その和を求めなさい．

${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2^2}}+{\displaystyle \frac{1}{2^3}}+\cdots$

【１】　以下の問に答えなさい．

(5)　$x>0$のとき，次の不等式が成り立つことを証明しなさい．

$e^x>(1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}})$

【２】　以下の問に答えなさい．

(1)　次の方程式を満たす複素数$z$の大きさと偏角を求めなさい．ただし，偏角の範囲は$-2\pi$以上$2\pi$未満とする．

$z^3(-{\displaystyle \frac{1}{2}}+i{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})=1$

【２】　以下の問に答えなさい．

(2)　複素数平面上の点$z$が原点を中心とする単位円上を動くとき，次の式が表す点$w$のえがく図形について$w$を用いた方程式を求めなさい．また，この方程式でえがかれる図形について説明しなさい．

$w={\displaystyle \frac{8z-4}{9z-3}}$

【２】　以下の問に答えなさい．

(3)　座標平面上の$2$点$(1,2)$と$(3,3)$を通る直線の法線ベクトルであり，かつ大きさが$1$のベクトルを求めなさい．

【２】　以下の問に答えなさい．

(4)　座標空間に$4$つの点$\mathrm{A}(4,1,3)\text{，}$$\mathrm{B}(2,6,3)\text{，}$$\mathrm{C}(1,2,8)\text{，}$$\mathrm{D}(1,2,3)$がある．三角形$\mathrm{ABD}$の面積ならびに四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めなさい．