2025　三重大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　平面上の点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の周上に，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sqrt{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\sqrt{3}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$を満たすとする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$a$を$2$より大きい定数とし，$A={\log }_a(a-2)$とおく．$x$に関する不等式${(a^2-2a)}^x\geqq a$が解をもたないような$a$の値を求めよ．また，解をもつとき，解を$A$を用いて表せ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{10}}\tan {\displaystyle \frac{2}{5}}\pi =1$を示せ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(4)　$y=a_{1}x+b_1$を$2$点$(1,0)$および$({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$を通る直線の方程式として，$y=a_{2}x+b_2$を，$2$点$(-1,0)$および$(-{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$を通る直線の方程式とする．連立不等式

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2\leqq 1\\ y\leqq a_{1}x+b_1\\ y\geqq a_{2}x+b_2\end{array}$

の表す領域を図示せよ．また，点$(x,y)$がこの領域を動くとき，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　箱の中に$0$と書かれたカードが$1$枚，$1$と書かれたカードが$2$枚，$2$と書かれたカードが$3$枚入っている．この箱の中からカードを$1$枚取り出し，カードに書かれている数字をメモしてから箱に戻すという試行を繰り返す．メモした数字の$1$番目から$n$番目までの合計が偶数である確率を$a_n\text{，}$奇数である確率を$b_n$とする．

(1)　$a_1\text{，}$$b_1\text{，}$$a_2\text{，}$$b_2$を求めよ．

(2)　$2$以上の$n$に対し，$a_n$を$a_{n-1}$と$b_{n-1}$で表せ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【３−１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$a\geqq 0$のとき，${\displaystyle {\int }_0^a}u{e}^{-u}\mathit{du}$を求めよ．

(2)　$x\geqq 1$のとき，$f(x)=2{\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{\log x}}}{t}^3{e}^{-t^2}\mathit{dt}$を求めよ．

(3)　(2)の$f(x)$に対し，曲線$y=f(x)$$\text{（}x\geqq 1\text{）}$の変曲点を求めよ．

【３‐２】　$a$を定数とし，$f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax-4a+2$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$が極値をもたないような$a$の値を求めよ．また，$f(x)$が極値をもつとき，極値を与える$x$と，極値を求めよ．

(2)　$a>1$とするとき，極限値$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{h}}{\displaystyle {\int }_1^{1+h}}|f(x)|\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　整式$f(x)$を$x-2$で割ったときの余りが$0$となるように$a$の値を定めよ．また，$a$がこの値であるとき，定積分${\displaystyle {\int }_1^3}|f(x)|\mathit{dx}$を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=3^n+2a_n$であるとする．数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(5)　$\cos {\theta }_1-\cos {\theta }_2=0$かつ$\sin {\theta }_1-\sin {\theta }_2=1$を満たす組$({\theta }_1,{\theta }_2)$をすべて求めよ．ただし，$0\leqq {\theta }_1\leqq {\theta }_2<2\pi$とする．また，複素数$z_1\text{，}$$z_2$で$\left|z_1\right|+\left|z_2\right|=5\text{，}$$|z_1{z}_2|=6\text{，}$$z_1\left|z_2\right|$$-\left|z_1\right|z_2$$=|z_1{z}_2|i$を満たす組$(z_1,z_2)$をすべて求めよ．ただし，$\left|z_1\right|\leqq \left|z_2\right|\text{，}$$0\leqq \arg z_1$$\leqq \arg z_2$$<2\pi$とする．

【２】　$k$本中$1$本が当たりで残りがはずれの公平なくじがある．このくじを引いて戻す試行を$n$回繰り返す．

(1)　$\text{「}n$回中当たりを$1$回以上引く確率が$a$以上である」という条件を，$k\text{，}$$n\text{，}$$a$を使った不等式で表せ．さらに，$k=3\text{，}$$n=2\text{，}$$a={\displaystyle \frac{5}{9}}$のとき，その不等式が成り立つことを示せ．

(2)　(1)の不等式を$n$について解け．ただし，$k>1$かつ$0\leqq a<1$とする．

(3)　くじの本数$k$が$5$で，$a$が$0.99$のとき，(1)の不等式を満たすくじ引きの回数$n$の最小値を求めよ．ただし，${\log }_{5}2$の近似値として$0.43$を使ってよい．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$を

$f(x)=\{\begin{array}{ll}1-\sqrt{1-{(x+1)}^2}& \text{（}-1\leqq x<0\text{）}\\ 1-\sqrt{1-{(x-1)}^2}& \text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}\end{array}$

とする．曲線$y=f(x)$$\text{（}-1\leqq x<0\text{）}$の凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．

(2)　不等式$x^2+y^2+z^2\leqq 1$の表す空間内の球を$B\text{，}$連立不等式

$\{\begin{array}{l}{y}^2+z^2\leqq {\{f(x)\}}^2\\ x\geqq -1\\ x\leqq 1\end{array}$

の表す空間内の立体を$D$とする．ただし，$f(x)$は(1)で与えられるものである．$(x,y,z)$が$D$の点ならば，それは$B$の点でもあることを示せ．

(3)　$B\text{，}$$D$は(2)で与えられたものとする．$B$から$D$の内部を取り除いてできる立体の体積を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=3^n+2a_n$であるとする．このとき，$a_1$を求めよ．また，$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．さらに，$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{3^n}}$として，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　$x$軸，直線$x=-1\text{，}$直線$x=1\text{，}$および曲線$y={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$x^2{f}^{\prime }(x)-2(x+1)f(x)=-4$を満たす$2$次関数$f(x)$を求めよ．

(2)　曲線$y=-x^3+2x+2$の接線のうち，傾きが$-1$で，$y$切片が正となるものを$l$とする．接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　$f(x)$と$l$は，それぞれ(1)と(2)で求めたものとする．曲線$y=f(x)$と接線$l$で囲まれた図形の面積を求めよ．