2025　愛知教育大学　前期MathJax

【１】　条件

$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$x^2+y^2\leqq 2025\text{，}$$x\geqq 3y$

をすべて満たす整数の組$(x,y)$は何組あるか答えよ．なお，必要に応じて右表を用いよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

問１　実数$x\text{，}$$y$に対し，不等式

$\left|x\right|+\left|y\right|\geqq |x+y|$

が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つ条件を求めよ．

問２　$n$を$2$以上の自然数とする．$n$個の実数$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_n$に対し，不等式

$\left|x_1\right|+\left|x_2\right|$$+\cdots$$+\left|x_n\right|$$\geqq |x_1+x_2+\cdots +x_n|$

が成り立つことを，数学的帰納法を用いて示せ．なお，等号が成り立つ条件は答えなくてよい．

【３】　正の実数$x$に対し，$z$は

$z^2=x+i$

を満たす複素数とする．$z$の偏角を$\theta$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位を表す．

問１　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のとき，$x$の値を求めよ．

問２　$x=\sqrt{3}$のとき，$\theta$の値を$0\leqq \theta <2\pi$の範囲ですべて求めよ．

問３　実数$x$が

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\leqq x<\sqrt{3}$

を満たすとき，$\theta$のとりうる値の範囲を求めよ．ただし，$0\leqq \theta <2\pi$とする．

【４】　$p$を$1$より大きな実数とする．$x>0$において

$y={\displaystyle \frac{p}{x^p}}$

と表される曲線を$C$とするとき，以下の問いに答えよ．

問１　曲線$C$上の点$(1,p)$における接線の方程式を求めよ．また，この接線が$x$軸と交わる点を$(s,0)$とするとき，$s$を$p$の式で表せ．

問２　問１の$s$に対して，積分

$S(p)={\displaystyle {\int }_1^s}{\displaystyle \frac{p}{x^p}}\mathit{dx}$

を$p$のみを用いた式で表せ．

問３　極限

$\underset{p\to \infty }{\lim }S(p)$

を求めよ．ただし，自然対数の底$e$が，

$e=\underset{x\to \infty }{\lim }{(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^x$

で与えられることを用いてよい．

【５】　$x>0$で定義された連続関数

$f(x)=(2-x)\log x\text{，}$$g(x)=f^{\prime }(x)$

について，以下の問いに答えよ．

問１　$g^{\prime }(x)<0$であることを示せ．

問２　方程式$g(x)=0$はただ$1$つの解$x=\alpha$をもち，$1<\alpha <2$であることを示せ．

問３　曲線$y=f(x)$と$x$軸によって囲まれた部分の面積を求めよ．