2025　豊橋技術科学大学　前期MathJax

【１】　$2$次方程式$x^2-x-1=0$の$2$つの解を$p\text{，}$$q$$\text{（}\left|p\right|>\left|q\right|\text{）}$とし，一般項が

$a_n={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}(p^n-q^n)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で表される数列$\{a_n\}$がある．このとき，$\left|p\right|>\left|q\right|$より，すべての自然数$n$について，$a_n$は$0$でない．数列$\{b_n\}$の一般項を

$b_n={\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．以下の問いに答えよ．

(1)　$p\text{，}$$q$を求めよ．

(2)　$a_2\text{，}$$a_3$を求めよ．

(3)　すべての自然数$n$について，$b_n$が正の有理数であることを数学的帰納法により証明せよ．

(4)　$r>1$のとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{r}^n=\infty$を証明せよ．必要ならば，$h>0$に対して，${(1+h)}^n={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{}_{n}C_k{h}^k$が成り立つことを用てもよい．

(5)　$\left|r\right|<1$のとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{r}^n=0$を証明せよ．必要ならば，数列$\{c_n\}$が$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|c_n\right|=0$をみたすのならば，$\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n=0$が成り立つことを用いてもよい．

(6)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

【２】　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=7\text{，}$$\mathrm{CA}=6$とし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$$\mathrm{\angle BAC}=\theta$とする．また，$\mathrm{▵ABC}$の内心を$\mathrm{I}\text{，}$垂心を$\mathrm{H}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\cos \theta$と内積$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．

(2)　$\sin \theta$と$\mathrm{▵ABC}$の面積$S$を求めよ．

(3)　線分$\mathrm{AI}$の延長と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(5)　$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　等式${\displaystyle \frac{1}{1-x^2}}={\displaystyle \frac{a}{1-x}}+{\displaystyle \frac{b}{1+x}}$が$x$についての恒等式となるように，定数$a\text{，}$$b$の値を定めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\cos x}}$を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{{\cos }^{3}x}}$を求めよ．必要ならば，

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{{\cos }^{3}x}}={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{{(\tan x)}^{\prime }}{\cos x}}\mathit{dx}$

が成り立つことを用いてもよい．

(4)　$x=\tan \theta$とおく置換積分法によって，定積分${\displaystyle {\int }_0^1}\sqrt{1+x^2}\mathit{dx}$を求めよ．

(5)　座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$(x,y)$が

$x=\mathrm{sln}t\text{，}$$y={\displaystyle \frac{1}{2}}\cos 2t$

で表される．

ア.　点$\mathrm{P}$の時刻$t$における速度ベクトル$\overrightarrow{v}=({\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}},{\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}})$の大きさ$\left|\overrightarrow{v}\right|$を時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速さという．点$\mathrm{P}$の速さ$\left|\overrightarrow{v}\right|$の最大値を求めよ．

イ.　$t=0$から$t={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$までの間に点$\mathrm{P}$が動く道のり$L$を求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　数字$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6\text{，}$$7\text{，}$$8\text{，}$$9$が$1$つづつ書かれた$10$個の玉が入っている袋から，玉を$1$個取り出し，数字を調べてからもとに戻す．この試行を$3$回続けて行うとき，取り出した玉に書かれた数字の和を$S$とする．

ア.　$S=3$である確率を求めよ．

イ.　$S=9$である確率を求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(2)　$n$を自然数とする．白玉$7$個，赤玉$8$個，青玉$n$個が入っている袋から，玉を同時に$3$個取り出すとき，取り出した$3$個の玉がすべて異なる色となる確率を$p_n$とする．

ア.　$p_1$を求めよ．

イ.　${\displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n}}$を求めよ．

ウ.　$p_n$が最大となるときの$n$の値を求めよ．