2025　名古屋工業大学　推薦MathJax

【１】　関数

$f(x)=x^3\log x$$\text{（}x>0\text{）}$

$g(x)=a{x}^3+b$

を考える．ただし，$a\text{，}$$b$は定数とする．

(1)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$が点$(e,f(e))$を共有し，かつ，この点において共通な接線$l$を持つように定数$a\text{，}$$b$の値を定めよ．

(3)　定数$a\text{，}$$b$と接線$l$は(2)で定めたものとする．曲線$y=g(x)$と直線$l$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

【２】　座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}$$\mathrm{B}(b,b^2)$を考える．ただし，$a<0<b$である．三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S$とする．

(1)　$a\text{，}$$b$を用いて$S$を表せ．

(2)　$\mathrm{\angle OAB}$が直角のとき，$b$を$a$で表せ．

(3)　$\mathrm{\angle AOB}$が直角のとき，${\displaystyle \frac{S}{b-a}}$の値を求めよ．