2025　名古屋工業大学　後期MathJax

【１】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{e^{3x}-e^{-3x}}{2}}\text{，}$$g(t)={\displaystyle {\int }_0^2}|t-f(x)|\mathit{dx}$

について，以下の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 2$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(2)　$t=f(x)$の逆関数$x=h(t)$を求めよ．

(3)　$g(0)$の値を求めよ．

(4)　$g^{\prime }(t)$を計算せよ．

(5)　$g(t)$の最小値を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を

$\begin{array}{ll}{a}_1=1\text{，}& a_{n+1}=a_n+n+1\\ b_1=0\text{，}& b_{n+1}=b_n+(n+1)a_n\end{array}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．

(1)　一般項$a_n$を求めよ．

(2)　$c_n={(1+2+\cdots +n)}^2-2b_n$を求めよ．

(3)　一般項$b_n$を求めよ．

(4)　$b_n$が$125$の倍数であるような自然数$n$のうち，$2\leqq n\leqq 50$の範囲にあるものをすべて求めよ．

【３】　正三角形$\mathrm{OAB}$と半径$1$の円$K$があり，円$K$の周上に固定された点$\mathrm{P}$がある．はじめ，円$K$は三角形$\mathrm{OAB}$の$2$辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}$の両方に接していて，辺$\mathrm{OB}$との接点は$\mathrm{P}$である．その後，円$K$は辺$\mathrm{OA}$上を，すべることなく，辺$\mathrm{AB}$に接するまで転がる．円$K$の回転に伴い，点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{OA}$上を一度だけ，$\mathrm{OA}$の中点で通過する．点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする．

(1)　辺$\mathrm{OA}$の長さを求めよ．

(2)　$C$の長さ$L$を求めよ．

(3)　$C$により分割される三角形$\mathrm{OAB}$の$3$つの部分のうち，頂点$\mathrm{O}$を含む部分の面積$S$を求めよ．

【４】　複素数$z$$\text{（}z\ne 1\text{）}$に対し，複素数$w$を$w={\displaystyle \frac{\bar{z}}{\bar{z}-1}}$で定める．複素数平面上の点を$\mathrm{O}(0)\text{，}$$\mathrm{A}(1)\text{，}$$\mathrm{B}(z)\text{，}$$\mathrm{C}(w)$とする．

(1)　$z={\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$のとき，$w$を計算せよ．

(2)　$|z-1||w-1|$の値を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$は一直線上にあることを示せ．

(4)　実数ではない$z$が面積比$\mathrm{▵OAB}:\mathrm{▵OBC}=1:2$をみたしつつ動くとき，${\displaystyle \frac{z-\bar{z}}{i(z+\bar{z})}}$の最大値を求めよ．

(5)　$2$条件$z+\bar{z}=3\text{，}$$|z-1|\leqq 1$によって定まる線分を$L$とする．点$\mathrm{B}(z)$が$L$上を動くとき，線分$\mathrm{BC}$が通過する部分の面積$S$を求めよ．ただし$z=w$の場合，線分$\mathrm{BC}$は$1$点$\mathrm{B}$のこととする．