2025　名古屋工業大学　前期MathJax

【１】　曲線$C\text{：}y=e^x$上に点$\mathrm{P}(t,e^t)$をとり，点$\mathrm{P}$における$C$の法線を$l$とする．$\mathrm{P}$とは異なる$C$上の点$(s,e^s)$における$C$の法線を$l_s$とする．$l$と$l_s$の交点の座標を$(x_s,y_s)$とし，

$x(t)=\underset{s\to t}{\lim }{x}_s\text{，}$$y(t)=\underset{s\to t}{\lim }{y}_s$

と定める．

(1)　$x_s$を$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　関数$f(x)\text{，}$$g(x)$は$x=a$で微分可能で，$g^{\prime }(a)\ne 0$とする．極限

$\underset{x\to a}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}$

を$f^{\prime }(a)\text{，}$$g^{\prime }(a)$を用いて表せ．

(3)　$x(t)\text{，}$$y(t)$を$t$を用いて表せ．

(4)　点$(x(t),y(t))$を中心とし，点$\mathrm{P}$を通る円の面積を$S(t)$とする．$S(t)$の最小値を求めよ．

【２】　$c$は定数とする．数列$\{a_n\}$は次をみたす．

・$a_1=1$

・第$n$部分和$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$について，

$n{S}_n=n$$+(c+1)(S_1+S_2$$+\cdots +S_{n-1})$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つ．

(1)　$S_2\text{，}$$S_3$を求めよ．

(2)　$a_2\text{，}$$a_3$を求めよ．

(3)　$n\geqq 2$とする．$n{S}_n$$-(n-1)S_{n-1}$を$2$通りに計算することにより，$n{a}_n$を$c\text{，}$$S_{n-1}$を用いて表せ．

(4)　$n\geqq 2$とする．$a_n$を$c\text{，}$$n\text{，}$$a_{n-1}$を用いて表せ．

(5)　$c$が自然数のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(6)　$c$が負の整数のとき，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【３】　$\mathrm{\angle AOB}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$の三角形$\mathrm{OAB}$がある．$\mathrm{\angle AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．また，三角形$\mathrm{OAC}$の外心$\mathrm{E}$は辺$\mathrm{OB}$上にある．$\mathrm{OE}=R\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．

(1)　$\mathrm{AC}$を$R$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

【４】　$xy$平面上に放物線

$C_1\text{：}y=x^2-(\sin \theta )x+\sin 2\theta$

と直線

$C_2\text{：}y=(2\cos \theta )x$

がある．ただし，$\theta$は$0\leqq \theta \leqq \pi$をみたす．

(1)　$C_1$と$C_2$が接するとき，接点の$x$座標，$y$座標それぞれの値を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$が接するときの$\theta$の値を${\theta }_0$とする．${\theta }_0<\theta \leqq \pi$のとき，$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積$S(\theta )$を求めよ．

(3)　${\theta }_0$は(2)で定めた値とする．${\theta }_0<\theta \leqq \pi$の範囲で$\theta$の値を変化させる．(2)で求めた$S(\theta )$が最大値をとるときの$\theta$の値を${\theta }_1$とする．$\cos {\theta }_1$と$S({\theta }_1)$を求めよ．

(4)　$C_1$と$C_2$の共有点の$x$座標を$a\text{，}$$b$$\text{（}a\leqq b\text{）}$とする．$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$\theta$の値を変化させるとき，点$(a,2a\cos \theta )$の軌跡が囲む部分の面積$T$を求めよ．