2025　名古屋大学　前期MathJax

【１】　以下の問に答えよ．

(1)　実数$x$を変数とする関数$f(x)$が導関数$f^{\prime }(x)$および第$2$次導関数$f^{″}(x)$をもち，すべての$x$に対し$f^{″}(x)>0$をみたすとする．さらに以下の極限値$a\text{，}$$b$$\text{（}a<b\text{）}$が存在すると仮定する．

$\underset{x\to -\infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=a\text{，}$$\underset{x\to \infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=b$

このとき，$a<c<b$をみたす任意の実数$c$に対し，関数$g(x)=cx-f(x)$の値を最大にする$x=x_0$がただひとつ存在することを示せ．

(2)　実数$x$を変数とする関数

$f(x)=\log \left({\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}\right)$

はすべての$x$に対し$f^{″}(x)>0$をみたすことを示せ．また，この$f$に対し小問(1)の極限値$a\text{，}$$b$を求めよ．

(3)　小問(2)の関数$f$および極限値$a\text{，}$$b$を考える．$a<c<b$をみたす任意の実数$c$に対し小問(1)の$x_0$および$g(x_0)$を$c$を用いて表せ．

【２】　整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$に対し次の条件を考える．

(＊)　$a\geqq b\geqq 0$かつ$a^2-b^2=c$

以下の問に答えよ．

(1)　$c=24\text{，}$$25\text{，}$$26$それぞれの場合に条件(＊)をみたす整数の組$(a,b)$をすべて求めよ．

(2)　$p$は$3$以上の素数，$n$は正の整数，$c=4p^{2n}$とする．このとき，条件(＊)をみたす整数の組$(a,b)$をすべて求めよ．

【３】　以下の問に答えよ．

(1)　実数$r\text{，}$$\alpha$は$0<r\leqq 1\text{，}$$0\leqq \alpha <\pi$をみたすとする．$xy$平面内で，点$(1,0)$を中心にもつ半径$r$の円周およびその内部を$C$とする．$C$を原点$(0,0)$を中心に反時計まわりに角度$\alpha$だけ回転させるとき，$C$が通過する領域の面積を求めよ．

(2)　実数$R\text{，}$$\alpha$は$0<R\leqq 1\text{，}$$0\leqq \alpha <\pi$をみたすとする．$xyz$空間内で，点$(1,0,0)$を中心にもつ半径$R$の球面およびその内部を$B$とする．$B$を$z$軸のまわりに角度$\alpha$だけ回転させるとき，$B$が通過する領域の体積を求めよ．ただし，回転の向きは回転後の$B$の中心が$(\cos \alpha ,\sin \alpha ,0)$になるように選ぶものとする．

【４】　コイン$\text{①}\text{，}$$\cdots \text{，}$$\text{⑥}$が右図のようにマス目の中に置かれている．これらのコインから無作為にひとつを選び，選んだコインはそのままにし，そのコインのあるマス目と辺を共有して隣接するマス目のコインを裏返す操作を考える．例えば，$\text{①}$を選べば，$\text{②}\text{，}$$\text{④}$を裏返し，$\text{②}$を選べば，$\text{①}\text{，}$$\text{③}\text{，}$$\text{⑤}$を裏返す．最初はすべてのコインが表向きに置かれていたとする．正の整数$n$に対し，$n$回目の操作終了時点ですべてのコインが裏向きである確率を$p_n$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)　$p_2$を求めよ．

(2)　コイン$\text{①}\text{，}$$\cdots \text{，}$$\text{⑥}$をグループ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$に分けることによって，$n$回目の操作終了時点ですべてのコインが裏向きであるための必要十分条件を次の形に表すことができる．

　$n$回目の操作終了時点までに$\mathrm{A}$に属する各コインはそれぞれ奇数回選ばれ，$\mathrm{B}$に属する各コインはそれぞれ偶数回選ばれる．

どのようにグループ分けすればよいかを答えよ．

(3)　$p_4$を求めよ．

【１】　実数$b\text{，}$$c$に対し，放物線$y=f(x)$$=x^2+bx+c$が$2$点$(p,0)\text{，}$$(q,0)$を通ると仮定する（ただし$p<q\text{）．}$また，条件$0<t\leqq 1$をみたす実数$t$に対し実数$r\text{，}$$s$を次のように定める．

$r={\displaystyle \frac{1+t}{2}}p+{\displaystyle \frac{1-t}{2}}q\text{，}$$s={\displaystyle \frac{1-t}{2}}p+{\displaystyle \frac{1+t}{2}}q$

　以下の問に答えよ．

(1)　$q-s\text{，}$$r-p\text{，}$$s+r\text{，}$$s-r$のそれぞれを$b\text{，}$$c\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　$sr$および$s^2+r^2$を$b\text{，}$$c\text{，}$$t$を用いて表せ．

(3)　放物線$y=f(x)\text{，}$直線$x=r\text{，}$$x=s\text{，}$および$x$軸が囲む領域の面積を$b\text{，}$$c\text{，}$$t$を用いて表せ．