2025　浜松医科大学　前期医学科MathJax

【１】　以下の枠内の問題に対する答案Aの中にある$2$つの下線部(a)および(b)の詳細な証明を与え，さらに空欄(c)に入る式を答えよ．

【答案A】：異なる実数$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$が方程式$f(x)=0$の解ならば，_(a)$f^{\prime }(x)=0$の実数解$\gamma$$\text{（}\alpha <\gamma <\beta \text{）}$が存在する．よって，$f(x)=0$の異なる実数解の個数が$m$個ならば，$f^{\prime }(x)=0$の異なる実数解の個数は$(m-1)$個以上である．次に，実数$\alpha$を$f(x)=0$の重複度$d$の解（定義は以下の注意を参照）としたとき，$d\geqq 2$ならば，_(b)$\alpha$は$f^{\prime }(x)=0$の重複度$(d-1)$の解である．従って，$f(x)=0$の異なる$m$個の実数解の重複度をそれぞれ$d_i$$\text{（}1\leqq i\leqq m\text{）}$とすれば，$f^{\prime }(x)=0$の実数解の個数は

$(m-1)+{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }}(d_i-1)=\text{(c)}$

個以上である．ここで，$f^{\prime }(x)$は$(n-1)$次の多項式であるから$f^{\prime }(x)=0$の解はすべて実数である．（答案終了）

（注意）：多項式$g(x)$が複素数$x_0$と自然数$k$および多項式$h(x)$を用いて

$g(x)={(x-x_0)}^{k}h(x)\text{，}$$h(x_0)\ne 0$

とかけるとき，$k$を$\text{「}{x}_0$の重複度」といい，$x_0$を「方程式$g(x)=0$の重複度$k$の解」という．

【２】　$1$から$6$までの目がすべて同じ確率で出るさいころが$1$つある．以下の問いに答えよ．

(1)　このさいころを使って，$1$から$10$までの$10$通りの数をどれも同じ確率で得ることができる方法を$1$つ示せ．ただし，さいころは何回振ってもかまわない．

(2)　このさいころを使って，$1$から$100$までの$100$通りの数をどれも同じ確率で得ることができる方法を$1$つ示せ．ただし，さいころは何回振ってもかまわない．

(3)　(2)で与えた方法で$1$から$100$までの数を$200$個求め，それらを順に$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_{100}\text{，}$$y_1\text{，}$$y_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$y_{100}$とする．これらを用いて，$x_i^2+y_i^2\leqq 10000$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$100\text{）}$を満たす$i$の個数を求める．これによりどのような値を知ることができるかを答えよ．

(4)　(3)で知ることができた値の精度をよりよくする方法を$1$つ示せ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)=x^{\frac{3}{2}}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$および正の実数$a$に対して

$L(a)={\displaystyle {\int }_0^a}\sqrt{1+{(f^{\prime }(x))}^2}\mathit{dx}$

を求めよ．

(2)　関数

$g(x)=\left|\right|2-x|-1|-1$

に対して，$y=g(x)$のグラフをかけ．

(3)　$y=x^{\frac{2}{3}}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$と$y=g(x)$で囲まれた領域の境界線の長さを求めよ．

【４】　自然数$n$に対して，$n$より大きく$n+50$より小さい素数の個数を$p(n)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$p(1)$を求めよ．

(2)　$p(50!+1)$を求めよ．

(3)　すべての自然数$n$に対して，不等式$|p(n)-p(n+1\left)\right|\leqq 1$を証明せよ．

(4)　$p(n)=1$となる自然数$n$が存在することを証明せよ．