2025　静岡大学　後期MathJax

【１】　${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\log }_{10}5\text{，}$${\log }_{10}8\text{，}$${\log }_{10}2025$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　${2025}^{225}$の桁数を求めよ．

(3)　${2025}^{225}$の最高位の数字を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$z={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$のとき，$z^5+{\displaystyle \frac{1}{z^5}}$の値を求めよ．ただし，$i$は虚数単位を表す．

(2)　$n$を正の整数とし，$\theta$を実数とする．複素数$w$が$w+{\displaystyle \frac{1}{w}}=2\cos \theta$を満たすとき，$w^n+{\displaystyle \frac{1}{w^n}}$を$n\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(3)　$\theta$を実数とするとき，次の$2$つの等式が成り立つことをそれぞれ示せ．

$4{\cos }^3\theta =\cos 3\theta +3\cos \theta \text{，}$$16{\cos }^5\theta =\cos 5\theta +5\cos 3\theta +10\cos \theta$

(4)　${\cos }^2{\displaystyle \frac{\pi }{10}}$の値を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}\mathit{dx}$の値を求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x}{1+x^4}}\mathit{dx}$の値を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{{(1+x^2)}^2}}\mathit{dx}$の値を求めよ．

(4)　曲線$y={\displaystyle \frac{x^2\sqrt{x}}{1+x^4}}\text{，}$直線$x=1$および$x$軸で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【４】　空間内の四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．また，辺$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{F}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$\theta :(1-\theta )$に内分する点を$\mathrm{G}$とする．ただし，$0<\theta <1$とする．さらに，線分$\mathrm{DF}$と線分$\mathrm{EG}$は点$\mathrm{H}$で交わっているとする．$\mathrm{▵ABC}$の重心を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{▵OBC}$の重心を$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{▵OAC}$の重心を$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{▵OAB}$の重心を$\mathrm{S}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\theta$の値を求め，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　$4$本の線分$\mathrm{OP}\text{，}$$\mathrm{AQ}\text{，}$$\mathrm{BR}\text{，}$$\mathrm{CS}$は$1$点で交わることを示せ．

(4)　$4$本の線分$\mathrm{OP}\text{，}$$\mathrm{AQ}\text{，}$$\mathrm{BR}\text{，}$$\mathrm{CS}$の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{T}$は同一直線上にあることを示せ．

【１】　箱の中に$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6$の数字が$1$つずつ書かれた$6$個の球が入っている．この箱から$3$つの球を同時に取り出し，球に書かれている数字を調べてから取り出した$3$つの球を箱に戻す．この試行を$3$回続けて行うとき，次の問いに答えよ．

(1)　$1$回目の試行で取り出される球に書かれている数字の積が$3$の倍数である確率を求めよ．

(2)　$2$回目までの試行で，$2$回続けて取り出される球が$1$つもない確率を求めよ．

(3)　$2$回目までの試行で$2$回続けて取り出された球が$1$つであったときに，$3$回続けて取り出される球が$1$つもない確率を求めよ．

(4)　$3$回続けて取り出される球が$1$つもない確率を求めよ．

【２】　$\mathrm{▵ABC}$において，その内接円の半径を$1$とし，$\mathrm{BC}=l$とする．また，$\mathrm{▵ABC}$の内心を$\mathrm{I}\text{，}$内接円と辺$\mathrm{BC}\text{，}$辺$\mathrm{CA}$との接点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$とし，$\mathrm{\angle BID}=\alpha \text{，}$$\mathrm{\angle CIE}=\beta$とする．$\mathrm{▵ABC}$の面積を$S$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$l$を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\alpha +\beta <\pi$を示せ．

(3)　$x=\tan \alpha$とおくとき，$S$を$x\text{，}$$l$を用いて表せ．

(4)　$l=2(2+\sqrt{3})$の場合に，$S$が最小となるときの$\mathrm{\angle ABC}$の大きさを求めよ．

【４】　$\mathrm{▵ABC}$の外心を$\mathrm{O}\text{，}$垂心を$\mathrm{H}$とし，$\mathrm{O}\ne \mathrm{H}$とする．また，$\mathrm{▵ABC}$の外接円の半径を$R\text{，}$線分$\mathrm{OH}$の長さを$l$とする．点$\mathrm{P}$が$\mathrm{▵ABC}$の外接円上を動くとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$であることを示せ．

(2)　$s\text{，}$$t$は定数とする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s\overrightarrow{\mathrm{OH}}+t\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を満たす点$\mathrm{Q}$の軌跡について，点$\mathrm{P}$が$\mathrm{▵ABC}$の頂点にあるとき，点$\mathrm{Q}$はその頂点に向かい合う辺の中点にあるとする．このとき，$s\text{，}$$t$の値をそれぞれ求めよ．また，点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．

(3)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}$の大きさの最小値を$R\text{，}$$l$を用いて表せ．また，最小となるときの$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$R\text{，}$$l\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を用いて表せ．

【５】　関数$f(t)={\displaystyle {\int }_0^t}{e}^{-x^2}\mathit{dx}$$\text{（}t\geqq 0\text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$t>0$とし，$n$を正の整数とする．このとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \frac{t}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{e}^{-{(\frac{k}{n}t)}^2}\leqq f(t)\leqq {\displaystyle \frac{t}{n}{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{e}^{-{(\frac{k}{n}t)}^2}}$

(2)　$R>0$とする．このとき，すべての実数$x$について，次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \frac{e^{-(1+x^2)R^2}}{1+x^2}}\leqq e^{-R^2}$

(3)　$R>0$とし，$n$を正の整数とする．このとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{1+{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^2}}-e^{-R^2}$$\leqq 2{\displaystyle {\int }_0^R}f(t)f^{\prime }(t)\mathit{dt}$$\leqq {\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{\displaystyle \frac{1}{1+{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^2}}$

(4)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{1+{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^2}}$を求めよ．

(5)　極限値$\underset{R\to \infty }{\lim }f(R)$を求めよ．

【１】　関数$f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$は奇関数であることを示せ．

(2)　$f^{\prime }(x)\text{，}$$f^{″}(x)$をそれぞれ求めよ．また，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=2\sqrt{2}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(4)　曲線$y=f(x)$と直線$x=2\sqrt{2}$の交点を$\mathrm{A}$とする．原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$を結ぶ直線と曲線$y=f(x)$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

【２】　関数$f(x)$はすべての実数$x$について

$f(x)>0\text{，}$$f(x)=1+{\displaystyle {\int }_1^x}f(t)f(2-t)\mathit{dt}$

を満たす連続関数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　次の等式が$x$についての恒等式となるように定数$A\text{，}$$B$の値を定めよ．

${\displaystyle \frac{1}{x(2-x)}}={\displaystyle \frac{A}{x}}+{\displaystyle \frac{B}{2-x}}$

(2)　すべての実数$x$について$f(x)+f(2-x)=2$および$f(x)<2$が成り立つことを示せ．

(3)　${\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)(2-f(x))}}$の値は$x$によらず一定になることを示せ．

(4)　$f(x)$を求めよ．

(5)　定積分${\displaystyle {\int }_1^2}f(x)\mathit{dx}$の値を求めよ．