2025　静岡大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_1=0\text{，}$$a_{n+1}=2a_n+6\cdot 5^n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき次の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$a_3$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　すべての自然数$n$について，$a_n$は$30$の倍数であることを示せ．

(3)　$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{5^{n-1}}}$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(4)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　関数$f(x)=x^3-6x^2+3x+10$について，次の問いに答えよ．だたし，関数$f(x)$が$x=a$を境目として増加から減少に移るとき，$f(a)$を極大値といい，関数$f(x)$が$x=a$を境目として減少から増加に移るとき，$f(a)$を極小値という．さらに，極大値と極小値を合わせて極値という．

(1)　$y=f(x)$の増減を調べ，極値をすべて求めよ．また，そのグラフの概形をかけ．

(2)　$y=|f(x)|$の極値をすべて求めよ．

(3)　$k$を実数とするとき，$y=|f(x)+k|$の極値をすべて求めよ．ただし，極値をとる$x$の値を答える必要はない．

【３】　$\mathrm{▵OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{3}\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{2}\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1$とする．また，$\mathrm{OA}$を$s:(1-s)\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$t:(1-t)\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$u:(1-u)$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．ただし，$0<s<1\text{，}$$0<t<1\text{，}$$0<u<1$とする．さらに，線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{OR}$の交点を$\mathrm{X}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{OR}$の長さを$u$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$s\text{，}$$t\text{，}$$u$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直であるとき，次の(ⅰ)，(ⅱ)に答えよ．

(ⅰ)　$u$の値を求めよ．

(ⅱ)　$st={\displaystyle \frac{1}{8}}$であるとき，線分$\mathrm{OX}$の長さが最大となる$s\text{，}$$t$の値およびそのときの線分$\mathrm{OX}$の長さをそれぞれ求めよ．

【１】　正の整数$n$に対して，$f(x)=e^x{(1-e^x)}^n$とする．ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x<0$において$f(x)$はただ$1$つの極値をとることを示し，その極値および極値をとる$x$の値を$n$を用いて表せ．

(2)　(1)で求めた極値をとる$x$の値を$a_n$とする．$t=1-e^x$とおくことで，定積分${\displaystyle {\int }_{a_n}^0}f(x)\mathit{dx}$の値を$n$を用いて表せ．

(3)　(2)で定めた$a_n$に対して，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }(n+1){\displaystyle {\int }_{a_n}^0}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

【２】　$i$を虚数単位とし，$\alpha =\sqrt{3}+i$とする．$1$個のさいころを$2$回投げて，出た目を順に$k\text{，}$$l$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0\leqq \theta <2\pi$とする．

(2)　$a^{kl}$が実数となる確率を求めよ．

(3)　$a^{kl}$の実部が正となる確率を求めよ．

【４】　$n$を正の整数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$を$0$でも$1$でもない実数とする．このとき，次の等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{a}^{k-1}$$={\displaystyle \frac{n{a}^{n+1}-(n+1)a^n+1}{{(a-1)}^2}}$

(2)　次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{k}{2^{k-1}}}<4$

(3)　次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{2k-1}{2^{2k-1}}}<{\displaystyle \frac{10}{9}}$

【２】　複素数平面において，$2$点$\alpha \text{，}$$\beta$は異なる点とし，$0<\arg (\beta -\alpha )<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\alpha$を通り実軸と平行な直線を$l_1$とし，点$\alpha$を通り虚軸と平行な直線を$l_2$とする．また，直線$l_1$に関して点$\beta$と対称な点を$\gamma$とし，直線$l_2$に関して点$\beta$と対称な点を$\delta$とする．このとき，次の(ⅰ)，(ⅱ)に答えよ．ただし，$2$直線が一致する場合も$2$直線は平行であると考えることにする．

(ⅰ)　$\gamma$を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

(ⅱ)　$\delta$を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

(2)　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とし，$\arg (z-\alpha )=\theta$を満たす点$z$を$1$つとり，点$z$と点$\alpha$を通る直線を$l$とする．また，直線$l$に関して点$\beta$と対称な点を$w$とする．このとき，次の(ⅰ)，(ⅱ)に答えよ．ただし，点$\gamma \text{，}$$\delta$は(1)で与えられた点とする．

(ⅰ)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，${\displaystyle \frac{\gamma -w}{\delta -w}}$を$\theta$を用いて表せ．

(ⅱ)　$\theta$が$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，点$w$の全体はどのような図形か．