2025　岐阜大学　後期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を次のように定める．

$a_1=0\text{，}$$a_{n+1}=a_n+2n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_1=6\text{，}$$b_{n+1}=b_n+6{(n+1)}^2$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

以下の問に答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

(2)　数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を求めよ．

(3)　$c_n={\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}$とする．このとき，$c_n>c_{n+1}$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}\{{\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}-{\displaystyle \frac{2}{k(k+1)(k+2)}}\}$を求めよ．

(5)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}\{{\displaystyle \frac{k-2}{k+2}}\left({\displaystyle \frac{1}{a_{k+1}}}\right)\}$を求めよ．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2-1$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$を考える．$f(x)$の逆関数を$f^{-1}(x)$と表し，$xy$平面上の点$(a,f^{-1}(a))$を$\mathrm{P}$とする．ただし，$a>0$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$f^{-1}(x)$を求めよ．

(2)　曲線$y=f^{-1}(x)$上の点$\mathrm{P}$における接線と$x$軸とのなす角を$\theta$とする．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．$\tan 2\theta$を$a$を用いて表せ．

(3)　$\theta$は(2)で定めた角とする．また，点$\mathrm{P}$を通り，傾きが$\tan 2\theta$の直線を$l$とする．$l$は原点を通ることを示せ．

(4)　点$\mathrm{P}$を通り，傾きが$-1$の直線を考える．この直線と曲線$y=f(x)$との交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の長さが$\sqrt{2}$となる$a$の値をすべて求めよ．

(5)　$l$は(3)の直線とし，$a$は(4)で求めた$a$の値の中で最小のものとする．このとき，曲線$y=f^{-1}(x)$と$x$軸，および直線$l$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【３】　$A$は正の定数とする．$2$つの曲線

$C_1\text{：}y=\sin x$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$

$C_2\text{：}y=A\cos x$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$

で囲まれた図形を考える．この図形の$y\geqq 0$にある部分の面積を$S$とし，$y\leqq 0$にある部分の面積を$T$とする．また，$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標をそれぞれ$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$\cos \alpha$と$\cos \beta$を$A$を用いてそれぞれ表せ．

(2)　$S$を$A$を用いて表せ．

(3)　$S=2T$となるような定数$A$の値を求めよ．

【４】　$k>0\text{，}$$t>0$とする．$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上の直線$l$と円$C$

$l\text{：}y=k(x+t)$

$C\text{：}{x}^2+y^2=4$

が異なる$2$点で交わっているとし，それらの交点を$x$座標の値が小さい方から$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$t>2$のとき，$k$のとりうる値の範囲を$t$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{▵OAB}$の面積$S$を$k$と$t$を用いて表せ．

(3)　$t=2\sqrt{2}$とする．線分$\mathrm{AB}$を直径とする円が$\mathrm{O}$を通るとき，$k$の値を求めよ．

(4)　線分$\mathrm{AB}$の中点が直線$x+y=0$上にあるとき，$k$の値を求めよ．

(5)　線分$\mathrm{AB}$を直径とする円が$x$軸の負の部分と$y$軸の正の部分の両方ともに接するとき，$k$と$t$の値をそれぞれ求めよ．

【５】　実数$\alpha \text{，}$$\beta$は$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{，}$$0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$および

${\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha ={\displaystyle \frac{7}{8}}\text{，}$$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{1-\sin \beta }{\cos \beta }}$

を満たすとする．また，関数

$f(x)=({\sin }^{2}x){\log }_2\left({\displaystyle \frac{1}{{\sin }^{2}x}}\right)$$+({\cos }^{2}x){\log }_2\left({\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}\right)$$(0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

を考える．以下の問に答えよ．

(1)　$\sin \alpha \cos \alpha$の値を求めよ．

(2)　$\sin \alpha \text{，}$$\cos \alpha$の値をそれぞれ求めよ．

(3)　$\sin \beta \text{，}$$\cos \beta$の値をそれぞれ求めよ．

(4)　$f(x)$の導関数を$f^{\prime }(x)$とする．$f^{\prime }(x)=0$となる$x$を求めよ．

(5)　$\theta$を(4)で求めた$x$の値とする．$f(\beta )<f(\theta )$が成り立つことを示せ．