2025　岐阜大学　前期MathJax

【１】　$0<\alpha <1$とする．面積が$2$である$\mathrm{▵OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$を$\alpha :(1-\alpha )$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，線分$\mathrm{OP}$と$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=\theta$として，以下の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$および$\alpha$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$および$\alpha$を用いて表せ．

(3)　$\left|\overrightarrow{b}\right|=2\text{，}$$\mathrm{\angle AOP}={\displaystyle \frac{1}{2}}\theta \text{，}$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{4}{5}}$とする．このとき$\alpha$の値を求めよ．

(4)　(3)の条件のもとで，$\mathrm{▵OAD}$の面積を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=4\text{，}$$a_{n+1}=2^{n+1}\cdot \sqrt{a_n}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とし，数列$\{b_n\}$を

$b_n={\log }_2{a}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定める．以下の問に答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$b_1\text{，}$$b_2$を求めよ．

(2)　$b_{n+1}$を$b_n$と$n$を用いて表せ．

(3)　$c_n=b_{n+1}-b_n$とする．$c_n$を$n$を用いて表せ．

(4)　数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を求めよ．

(5)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの積を$P_n=a_1{a}_2\cdots a_n$とおく．${\log }_2{P}_n$を求めよ．

【３】　$1$から$5$までの番号が$1$つずつ書かれた$5$枚のカード$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5$がある．この$5$枚のカードを，下から順番に$5\text{，}$$4\text{，}$$3\text{，}$$2\text{，}$$1$と重ねていき，$1$番上に$1$がくるようにカードの山をつくる．このカードの山に以下の試行$\mathrm{T}$を続けて行うことを考える．以下の各問ではこのカードの山から試行を始める．

［試行$\mathrm{T}\text{］}$カードの山の$1$番上にあるカードを取り，残り$4$枚のいずれかのカードの下に入れる．ただし，どのカードの下に入れる確率も同じとする．

　例えば，試行$\mathrm{T}$を$3$回続けて行うとする．このとき，$2$回目の試行は，$1$回目の試行の結果，カードの山の$1$番上になったカードに対して行う．$3$回目の試行も，$2$回目の試行の結果，カードの山の$1$番上になったカードに対して行う．以下の問に答えよ．

(1)　試行$\mathrm{T}$を$2$回続けて行うとき，$2$回の試行の結果，$3$がカードの山の$1$番上になる確率を求めよ．

(2)　試行$\mathrm{T}$を$5$回続けて行うとき，$1$回目は$1$番上のカードが$5$より上に入り，$1$回目以外の回は$5$より下に入る確率を求めよ．

(3)　試行$\mathrm{T}$を$5$回続けて行うとき，$2$回目は$1$番上のカードが$5$より上に入り，$2$回目以外の回は$5$より下に入る確率を求めよ．

(4)　試行$\mathrm{T}$を$5$回続けて行うとき，$5$回の試行の結果，$5$がカードの山の$1$番上になる確率を求めよ．

(5)　試行$\mathrm{T}$を$5$回続けて行うとき，$5$回の試行の結果，$4$がカードの山の$1$番上になる確率を求めよ．

【４】　$f(x)=x^3-3x^2-6x+8$を考える．$3$次方程式$f(x)=0$は異なる$3$つの実数解$a\text{，}$$b\text{，}$$c$をもつ．ただし，$a<b<c$である．以下の問に答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

(2)　関数$f(x)$の極値を求めよ．また，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_a^c}|f(x)|\mathit{dx}$の値を求めよ．

(4)　次のように関数を定める．

$g_1(x)=|x-a|(x-b)(x-c)$

$g_2(x)=(x-a)|x-b|(x-c)$

$g_3(x)=(x-a)(x-b)|x-c|$

このとき，定積分${\displaystyle {\int }_a^c}\{g_1(x)+g_2(x)+g_3(x)\}\mathit{dx}$の値を求めよ．

【５】　$X>0\text{，}$$Y>0$とする．$xy$平面上の点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$$\mathrm{P}(X,Y)\text{，}$$\mathrm{Q}(X+1,Y)$について，線分$\mathrm{OP}$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\alpha \text{，}$線分$\mathrm{OQ}$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\beta \text{，}$$\mathrm{\angle POQ}=\theta$とする．ただし，$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$\tan \alpha$と$\tan \beta$を，$X$と$Y$を用いてそれぞれ表せ．

(2)　$\tan \theta$を$X$と$Y$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$が$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$を満たしながら動くとき，$X$の最大値を求めよ．

(4)　点$\mathrm{P}$が直線$x=2$上を動くとき，${\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}$の最小値を求めよ．

【４】　$n$を自然数とする．$z_1=1\text{，}$$z_2={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$とし，複素数$z_{n+2}$を

$z_{n+2}\overline{z_{n+1}}=z_{n+1}\overline{z_n}$

を満たすように定める．ただし，$i$は虚数単位であり，複素数$\overline{z_n}$は$z_n$の共役な複素数とする．以下の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i=\cos \theta +i\sin \theta$となる$\theta$で$0\leqq \theta <2\pi$を満たすものを求めよ．

(2)　$\left|z_n\right|$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{z_{n+1}}{z_n}}$の実部を$a_n\text{，}$虚部を$b_n$とする．$a_n$と$b_n$を求めよ．

(4)　$z_n$の虚部を$y_n$とする．${\displaystyle \sum _{n=1}^{100}}{y}_n$の値を求めよ．

【５】　関数

$f(x)=e^{3x}-5e^{2x}+8e^x-4$

を考える．ただし，$e$は自然対数の底とする．以下の問に答えよ．

(1)　整式$x^3-5x^2+8x-4$を因数分解せよ．

(2)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(3)　$k$は実数とする．曲線$y=k{e}^x-4$と曲線$y=f(x)$の共有点が$2$個となるような$k$の値の範囲を求めよ．

(4)　$k$が(3)で求めた範囲にあるとき，曲線$y=k{e}^x-4$と曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積が$9$となるような$k$の値を求めよ．