2025　信州大学　後期　工,繊維学部MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$は初項$a\text{，}$公差$d$の等差数列，数列$\{b_n\}$は初項$b\text{，}$公差$e$の等差数列とする．ただし，$d\text{，}$$e$は正の数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　変量$x$のデータが$n$個の値$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$であるとき，$x$の平均値および分散を求めよ．

(2)　$2$つの変量$x\text{，}$$y$のデータが$n$個の$x\text{，}$$y$の値の組$(a_1,b_1)\text{，}$$(a_2,b_2)\text{，}$$\cdots \text{，}$$(a_n,b_n)$であるとき，$x\text{，}$$y$の共分散および相関係数を求めよ．ただし，$n$は$2$以上の自然数とする．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の直線$y=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x+3$を$l$とする．$l$上の点$\mathrm{P}(p,q)$に対し，$\mathrm{O}$を端点とする半直線$\mathrm{OP}$上の点$\mathrm{Q}$は$\mathrm{OP}\cdot \mathrm{OQ}=4$を満たすとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\text{，}$$\mathrm{OQ}=d$とおくとき，$k$を$d$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が$l$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$が描く軌跡を求めよ．

(3)　$l$上の点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$を${\mathrm{P}}_1(3\sqrt{3},0)\text{，}$${\mathrm{P}}_2({\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{3}{2}})$とする．点$\mathrm{P}$が線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$が描く軌跡の長さを求めよ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^1}|t(e^t-x)|\mathit{dt}$の区間$1\leqq x\leqq e$における最大値と最小値を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底で，$2<e<3$である．

【４】　$p$は実数とする．関数

$f(x)=|x-1|+|x-7|+|x-p|$

の区間$p-2\leqq x\leqq p+4$における最小値を$m(p)$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$m(p)=6$となるとき，$p$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$m(p)=16$となる$p$の値をすべて求めよ．