2025　信州大学　後期　理学部MathJax

【１】(1)　$n$を自然数とする．次の和を求めよ．

【１】(2)　$n$を自然数とする．定積分${\displaystyle {\int }_1^e}{x}^n\log x\mathit{dx}$を求めよ．ただし$e$は自然対数の底である．

【１】(3)　$\overrightarrow{a}=(4,1,-1)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(-2,2,3)$とおく．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交し，大きさが$3$であるようなベクトル$\overrightarrow{c}$をすべて求めよ．

【２】　$f(x)={(x+2)}^2\text{，}$$g(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}{(x+1)}^2-2$とし，$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$で表される放物線をそれぞれ$C_1\text{，}$$C_2$とする．

(1)　$C_1$上の点$(-1,1)$における法線と，$C_2$上の点$(1,0)$における法線は一致することを示せ．

(2)　$C_1$上の点$(a,f(a))$における法線と，$C_2$上の点$(b,g(b))$における法線が一致するような実数の組$(a,b)$をすべて求めよ．

【３】　関数

$f(x)={(x-3)}^2-{\displaystyle \frac{1}{x-3}}$

の増減，極値，凹凸，および変曲点を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

【４】(1)　$a$を実数とする．関数

$f(\theta )=a\sin \theta +\cos 2\theta$

の区間$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における最大値と最小値を求めよ．ただし，最大値および最小値を与える$\theta$の値は求めなくてよい．

(2)　$\theta$が$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，直線$y=x\sin \theta +\cos 2\theta$が通過する領域を図示せよ．